به دست آوردن مساحت ذوزنقه با داشتن قاعده ها و قطرها

Question

مساحت ذوزنقه ای را حساب کنید که طول قاعده های آن 30 و 12 و طول قطرهای آن 30 و 34 است

Answer 1

با رسم ارتفاع های ذوزنقه AH2=BH1=h و قطرهای AC=34 و BD=30 دو مثلث قائم الزاویه AH2C و BH1D به وجود می آيد.

با استفاده از قضيه فيثاغورث در هر کدام داريم: $$h^{2}+ (12+y)^{2}= 34^{2 } \lbrace 1\rbrace$$

$$h^{2}+ (12+x)^{2}= 30^{2 } \lbrace 2\rbrace$$ $$x+y=30-12=18 \lbrace 3\rbrace$$

با تفاضل رابطه های 1 و 2 داریم: $$y-x= \frac{128}{21}$$ با استفاده از این رابطه و رابطه 3 مقدار $x=5.952$ و $y=12.048$ به دست می آید. با قرار دادن این مقادیر در رابطه های 1 یا 2 به دست می آوریم: $h=23.616$ بدین ترتیب مساحت ذوزنقه به راحتی به دست می آید: $$\frac{42*23.616}{2}=495.934$$

Answer 2

اگر مجاور ذوزنقه وارون همان ذوزنقه را رسم کنیم یک متوازی الاضلاع خواهیم داشت

$S_{ABCD} = S_{DAB} + S_{DBC}$ به سادگی می شود دید که $S_{DAB} = S_{BCE}$ لذا کافیست مساحت $DBE$ را بیابیم

و این هم با قانون هرون به سادگی بدست می آید.

به سوال قاعده هرون در محاسبه مساحت مثلث مراجعه نمایید.

Answer 3

مثلث های $OAB$ و $OCD$ متشابه هستند(با استفاده از قضیه خطوط موازی و متقابل به راس نتیجه میشه بنابر حالت سه زاویه متشابه اند)

نسبت تشابه برابر است با $\frac{AB}{CD}=\frac{12}{30}$ .

کافی است که ارتفاع ذوزنقه را بیابیم. اما ارتفاع ذوزنقه برابر است با مجموع ارتفاع دو تا مثلث $OAB,OCD$. کافی است ارتفاع مثلث $OCD$ را بیابیم که در اینصورت با توجه به نسبت تشابه، ارتفاع مثلث $OAB$ هم به دست می آید.

اما ارتفاع مثلث $OCD$ را می توان با توجه به قاعده هرون به صورت زیر به دست آورد:

قاعده هرون برای به دست آوردن مساحت به صورت $$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$ است که $P$ نصف محیط است. باید اضلاع مثلث را داشته باشیم.

می دانیم که $CD=30$ . با توجه به نسبت تشابه داریم $$CB=34\\ \Rightarrow 34=OC+OB=OC+\frac {12}{30}OC$$ که به دست می آید $OC=\frac{30\times 34}{42}$ . و به طور مشابه $OD=\frac{30\times 30}{42}$ . و لذا با قاعده هرون $S$ به دست می آید. و چون $S=\frac 12 CD h$ ارتفاع مثلث $OCD$ به دست می آید و از آنجا ارتفاع مثلث $OAB$ و لذا می توان مساحت ذوزنقه را یافت.