بزرگترین مقدار ممکن $k$ که در$ \sqrt{y-5} + \sqrt{8-y} \geq k $ صدق می کند

Question

فرض کنید $ k $ عدد حقیقی است که به ازای آن نامساوی $ \sqrt{y-5} + \sqrt{8-y} \geq k $ حتما دارای جواب است. بزرگترین مقدار ممکن $ k $ را بدست آورید.

Answer 1

بیشترین مقدار $k$ به ازای بیشترین مقدار $\sqrt{x-5}+\sqrt{8-x}$ می آید و برای به دست آوردن بیشترین مقدار $\sqrt{x-5}+\sqrt{8-x}$ از این عبارت مشتق می گیریم: $$ \frac{1}{2\sqrt{x-5}}- \frac{1}{2\sqrt{8-x}}=0 $$ $$ \frac{1}{\sqrt{x-5}}= \frac{1}{\sqrt{8-x}} \Rightarrow \sqrt{x-5}= \sqrt{8-x} \Rightarrow x-5=8-x \Rightarrow x= \frac{13}{2} $$ $$\sqrt{x-5}+\sqrt{8-x}|_{x=\frac {13}2}=\sqrt 6$$

Comments

کامل بود ممنونم

Answer 2

چون گفته بیشترین مقدار $k$ که به ازای آن $k\leq \sqrt{x-5}+\sqrt{8-x}$ دارای جواب باشدو این برابر است با وقتی که $k$ برابر با بیشترین مقدار $\sqrt{x-5}+\sqrt{8-x}$ باشد.

اما بیشترین مقدار $\sqrt{x-5}+\sqrt{8-x}$ در فاصله ی $5\leq x\leq 8$ در نقطه $x=\frac {13}2$ اتفاق می افتد و در این نقطه $\sqrt{x-5}+\sqrt{8-x}|_{x=\frac {13}2}=\sqrt 6$. بنابراین $ k=\sqrt 6 $ .

Comments

از شما هم ممنونم