تعریفی از پیچش(convolution) دو اندازه احتمال بورل؟

Question

می دانیم در آنالیز فوریه که اگر $f$ و $g$ دو تابع مربع انتگرال‌پذیر باشند، آن‌گاه پیچش $f$ و $g$ که با $f \ast g$ نشان داده می‌شود به صورت زیر است: $(f \ast g)(t) = \int f(x-t)g(t)dx$ اکنون من به دنبال تعریفی هستم که اگر $\mu$ و $\nu$ دو اندازه احتمال بورل باشند و همچنین مجموعه E یک مجموعه بورل باشد آن‌گاه $ (\mu \ast \nu) (E)= ?$

Comments

میتونید تعریفش رو در اینجا ببینید:
https://en.wikipedia.org/wiki/Convolution#Convolution_of_measures

---

بابت وقتی که گذاشتید ممنونم این راحت‌ترین و قابل دسترس ترین پاسخ بود اما من به دنبال منبعی هستم که به طور جامع توضیح داده باشد یا حداقل برایم این مسئله را توجیح کند که چرا
math> $(\mu  * \nu )(E) = \int {\mu (E - t)d\nu (t).} $ </math>
باری دیگر سپاس ارزانی شما.

Answer 1

اگر دنبال مرجعی برای خواندن در این مورد هستید میتونید کتاب های آنالیزحقیقی فولند فصل Elements of Fourier Analysis رو ببینید.

اما در مورد سوالی که گفتید چرا $(\mu*\nu)(E)=\int \mu(E-t)d\nu(t)$ به این دلیل هست که بنابر تعریف $$(\mu*\nu)(E)=\mu\times \nu(\alpha^{-1}(E))$$ که $\alpha:\mathbb R\times \mathbb R\to \mathbb R$ به صورت $\alpha(x,y)=x+y$ تعریف می شود.

اما برای هر $E\subset \mathbb R\times \mathbb R$ می دانیم که $$(\mu\times \nu)(E)=\int \mu(E^y)d\nu(y)$$ که $E^y=\{x:(x,y)\in E\}$ .

بنابراین $$(\mu*\nu)(E)=\int\mu((\alpha^{-1}(E))^y)d\nu(y)$$ اما $$(\alpha^{-1}(E))^y=\{x:(x,y)\in \alpha^{-1}(E)\}=\{x:x+y=\alpha(x)\in E\}=E-y$$ و لذا $ (\mu*\nu)(E)=\int \mu(E-y)d\nu(y) $