به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
153 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط
برچسب گذاری دوباره توسط

می دانیم در آنالیز فوریه که اگر $f$ و $g$ دو تابع مربع انتگرال‌پذیر باشند، آن‌گاه پیچش $f$ و $g$ که با $f \ast g$ نشان داده می‌شود به صورت زیر است: $(f \ast g)(t) = \int f(x-t)g(t)dx$ اکنون من به دنبال تعریفی هستم که اگر $\mu$ و $\nu$ دو اندازه احتمال بورل باشند و همچنین مجموعه E یک مجموعه بورل باشد آن‌گاه $ (\mu \ast \nu) (E)= ?$

دارای دیدگاه توسط
+1
میتونید تعریفش رو در اینجا ببینید:
https://en.wikipedia.org/wiki/Convolution#Convolution_of_measures
دارای دیدگاه توسط
+1
بابت وقتی که گذاشتید ممنونم این راحت‌ترین و قابل دسترس ترین پاسخ بود اما من به دنبال منبعی هستم که به طور جامع توضیح داده باشد یا حداقل برایم این مسئله را توجیح کند که چرا
math> $(\mu  * \nu )(E) = \int {\mu (E - t)d\nu (t).} $ </math>
باری دیگر سپاس ارزانی شما.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

اگر دنبال مرجعی برای خواندن در این مورد هستید میتونید کتاب های آنالیزحقیقی فولند فصل Elements of Fourier Analysis رو ببینید.

اما در مورد سوالی که گفتید چرا $(\mu*\nu)(E)=\int \mu(E-t)d\nu(t)$ به این دلیل هست که بنابر تعریف $$(\mu*\nu)(E)=\mu\times \nu(\alpha^{-1}(E))$$ که $\alpha:\mathbb R\times \mathbb R\to \mathbb R$ به صورت $\alpha(x,y)=x+y$ تعریف می شود.

اما برای هر $E\subset \mathbb R\times \mathbb R$ می دانیم که $$(\mu\times \nu)(E)=\int \mu(E^y)d\nu(y)$$ که $E^y=\{x:(x,y)\in E\}$ .

بنابراین $$(\mu*\nu)(E)=\int\mu((\alpha^{-1}(E))^y)d\nu(y)$$ اما $$(\alpha^{-1}(E))^y=\{x:(x,y)\in \alpha^{-1}(E)\}=\{x:x+y=\alpha(x)\in E\}=E-y$$ و لذا $ (\mu*\nu)(E)=\int \mu(E-y)d\nu(y) $

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...