به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
402 بازدید
در دانشگاه توسط mohammad.yaldi (40 امتیاز)
برچسب گذاری دوباره توسط fardina

می دانیم در آنالیز فوریه که اگر $f$ و $g$ دو تابع مربع انتگرال‌پذیر باشند، آن‌گاه پیچش $f$ و $g$ که با $f \ast g$ نشان داده می‌شود به صورت زیر است: $(f \ast g)(t) = \int f(x-t)g(t)dx$ اکنون من به دنبال تعریفی هستم که اگر $\mu$ و $\nu$ دو اندازه احتمال بورل باشند و همچنین مجموعه E یک مجموعه بورل باشد آن‌گاه $ (\mu \ast \nu) (E)= ?$

توسط fardina (17,196 امتیاز)
+1
میتونید تعریفش رو در اینجا ببینید:
https://en.wikipedia.org/wiki/Convolution#Convolution_of_measures
توسط mohammad.yaldi (40 امتیاز)
+1
بابت وقتی که گذاشتید ممنونم این راحت‌ترین و قابل دسترس ترین پاسخ بود اما من به دنبال منبعی هستم که به طور جامع توضیح داده باشد یا حداقل برایم این مسئله را توجیح کند که چرا
math> $(\mu  * \nu )(E) = \int {\mu (E - t)d\nu (t).} $ </math>
باری دیگر سپاس ارزانی شما.

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط fardina (17,196 امتیاز)

اگر دنبال مرجعی برای خواندن در این مورد هستید میتونید کتاب های آنالیزحقیقی فولند فصل Elements of Fourier Analysis رو ببینید.

اما در مورد سوالی که گفتید چرا $(\mu*\nu)(E)=\int \mu(E-t)d\nu(t)$ به این دلیل هست که بنابر تعریف $$(\mu*\nu)(E)=\mu\times \nu(\alpha^{-1}(E))$$ که $\alpha:\mathbb R\times \mathbb R\to \mathbb R$ به صورت $\alpha(x,y)=x+y$ تعریف می شود.

اما برای هر $E\subset \mathbb R\times \mathbb R$ می دانیم که $$(\mu\times \nu)(E)=\int \mu(E^y)d\nu(y)$$ که $E^y=\{x:(x,y)\in E\}$ .

بنابراین $$(\mu*\nu)(E)=\int\mu((\alpha^{-1}(E))^y)d\nu(y)$$ اما $$(\alpha^{-1}(E))^y=\{x:(x,y)\in \alpha^{-1}(E)\}=\{x:x+y=\alpha(x)\in E\}=E-y$$ و لذا $ (\mu*\nu)(E)=\int \mu(E-y)d\nu(y) $


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...