باید منظور شما $f_n(x)=n\chi_{(0,\frac 1n]}$ باشه. چون در $x=0$ همگرا نیست.
ثابت می کنیم که هیچ $g\in L^1$ وجود ندارد که $|f_n|\leq g$.
اگر چنین $g$ی موجود باشد در اینصورت $\sup_n|f_n(x)|\leq g(x)$به ازای هر $x$ و بنابراین $\int\sup_n|f_n|\leq \int g< \infty$ .
اما به ازای هر $m$ طبیعی داریم:
$$\begin{align}
\int_0^1\sup_n|f_n(x)|dx&\geq \int_{\frac 1m}^1\sup_n|f_n(x)|dx\\
&=\int_{(\frac 1m,\frac 1{m-1}]}\sup_n|f_n(x)|dx+\cdots +\int_{(\frac 12, 1]}\sup_n|f_n(x)|dx\\
&=\int_{(\frac 1m,\frac 1{m-1}]}(m-1)dx+\cdots +\int_{[\frac 12, 1]}1dx\\
&=\sum_1^{m-1}\frac 1{i+1}\to\infty
\end{align}$$
توجه کنید در بالا از این نکته استفاده کردیم که $\sup_n|f_n(x)|=m-1$ در بازه $(\frac 1m, \frac 1{m-1}]$
بنابراین $\int\sup_n|f_n|=\infty$ که تناقض است. یعنی هیچ $g$ ی نمی تواند این دنباله را مغلوب کند!
اما $f_n(x)\to 0$ زیرا برای هر $x>0$ یک $N$ هست که $\frac 1N< x$ لذا برای $n\geq N$ داریم $f_n(x)=0\to 0$ .
در اینصورت:
$$\lim_{n\to\infty}\int_0^1 f_n(x)dx=\lim_{n\to\infty}1=1\neq \int_0^1 0dx=0$$
منبع: ویکی پدیا
