به دست آوردن $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}x$ وقتی $x$ بر حسب درجه باشد

Question

با سلام

$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}x$ وقتی ایکس به سمت صفر میل میکند میاییم میگیم $x$ درجه مساوی است با $\frac \pi{180}x$ پس حاصل حد باید بشه یک در حالی که جواب درست می شود $\frac\pi{180}$.

میخوام بدونم چرا جواب اول غلط هست وجواب دوم که $\frac\pi{180}$ هست درسته ممنون میشم دقیق وعلمی پاسخ رو اعلام بفرمایید با تشکر

Answer 1

اگر $x^\circ$ برحسب درجه و $y$ معادل آن بر حسب رادیان باشد در اینصورت می دانیم رابطه ی $x^\circ =\frac{180}{\pi}y$ بین آنها برقرار است و داریم: $$\lim_{x^\circ \to 0^\circ}\frac{\sin x^\circ}{x^\circ}=\lim_{y\to 0}\frac{\sin y}{\frac{180}{\pi}y}=\frac \pi{180}$$

Comments

سلام ممنون میشم بیشتر برام توضیح بدید چرا ایکس درجه به سمت صفر درجه باید میل کنه مگه ایکس خالی به سمت صفر خالی میل کنه نمیشه ممنون میشم برام توضیح بدید با تشکر

---

توضیح بیشتر:
وقتی گفتیم که $y$ برحسب رادیان معادل است با $x$ یعنی $\sin x=\sin y$ مثلا فرض کنید $x=30^\circ$ در اینصورت $x=\frac{180}\pi\times \frac \pi6$ در اینصورت $\sin 30=\sin \frac \pi6$ .
و وقتی $x$ که بر حسب درجه هست به سمت صفر درجه میل میکند لذا $y$ که معادل آن است(برحسب رادیان) به سمت صفر رادیان میل می کند.

"چرا ایکس درجه به سمت صفر درجه باید میل کنه مگه ایکس خالی به سمت صفر خالی میل کنه نمیشه" :
خوب مگه شما نمیگید $x$ برحسب درجه هست؟ پس به سمت صفر میل میکند یعنی به سمت صفر درجه میل می کند. ایکس خالی یعنی چی!؟

---

سلام منظور این بود تو سوال اولیه من گفتم ایکس به سمت صفر میل میکند شما ولی گفتید ایکس درجه به سمت صفر درحه میل میکند میخواستم تفاوت این دورو بدونم

---

حقیقتش نمیدونم منظورتون چیه و مشکلتون در کجا هست. ما در ریاضیات همیشه از رادیان استفاده میکنیم مگر اینکه به صراحت بگیم که از درجه استفاده میکنیم.
شما وقتی میگید $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$ یعنی منظورتون اینه که برحسب رادیان محاسبه می کنیم.
لذا نباید بگید "میاییم میگیم x درجه مساوی است با $\frac{\pi}{180}x$ پس حاصل حد باید بشه یک"
چون همونطور که گفتم $x$ بر حسب رادیان در نظر میگیریم.
شما وقتی میاید میگید "میگیم x درجه مساوی است با..." یعنی $x$ رو برحسب درجه فرض کردید.
اگر میخواید $x$ رو برحسب درجه در نظر بگیرید که در اینصورت پاسخ رو من نوشتم.

Answer 2

اگه منظورتون این رابطه: $ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{sinx}{x} $

که جواب این حد برابر با یک رادیان هست که برحسب درجه داریم:

$$ \frac{رادیان\pi }{180درجه} = \frac{1}{؟} $$ $$؟= \frac{ \pi }{ 180 } $$

Comments

سلام ممنون میشم یکی از عزیزان یه جواب دقیق وجامع بهم بده با تشکر

---

این جوابی که داده شده درست است. برحسب رادیان جواب هم ارزی میشه 1 و بر حسب درجه میشه $ \frac{\pi}{180} $ درجه