اجتماع شمارا از مجموعه های مثبت، مجموعه ای مثبت است.

Question

اگر$ p_{1}, p_{2} $ مجموعه های مثبت نسبت به بار $ \lambda $ باشندآنگاه نشان دهید $ p_{1} \cup p_{2} $ نسبت به$ \lambda $ مثبت است؟

Answer 1

فرض کنید $\lambda$ یک اندازه علامتدار روی $(X,\mathcal M)$ باشد.

من میخوام چیزی بیشتر از سوال شما رو ثابت کنم.

اگر $P_i$ ها مجموعه هایی مثبت برای $\lambda$ باشند در اینصورت $\bigcup P_i$ نیز مجموعه ای مثبت برای $\lambda$ است.

اگر برای هر $n$ قرار دهیم $Q_n=P_n-\bigcup_{i=1}^{n-1}P_i$ در اینصورت $Q_n$ ها مثبت هستند( چون $Q_n\subset P_n$ و $P_n$ مثبت است). توجه کنید که $\bigcup Q_i=\bigcup P_i$

حال ثابت می کنیم $\bigcup P_i$ مثبت است:

فرض $E\subset \bigcup P_i$ در اینصورت $E\subset \bigcup Q_i$ و لذا $$E=\bigcup (Q_i\cap E)$$ در اینصورت $\lambda(E)=\sum_1^\infty \lambda(E\cap Q_i)$ و چون $E\cap Q_i\subset Q_i$ و $Q_i$ ها مثبت اند لذا $\lambda(E\cap Q_i)\geq 0$ و لذا $\lambda(E)\geq 0$.

Comments

نیازی به تو در تو بودن < math> $$ P_i$$ </math> ها نیست؟؟

---

@mohammad.yaldi
فکر نکنم. در کدوم قسمت لازم میشه؟ من فقط یک دنباله از مجموعه ها رو با یک دنباله مجزا از مجموعه ها تعویض کردم. یعنی بجای کار با $P_i$ ها با $Q_i$ ها کار کردیم که مجزا هستند و راحتتر میشه باهاشون کار کرد.

---

توجه من به اون قسمت جلب شده است اگر $ P_1 $ بزرگتر از $ P_2 $ باشد آنگاه چگونه
$ Q_2=P_2 -P_1 $  مثبت میشود؟

---

@mohammad.yaldi
اگر $P_2\subset P_1$ در اینصورت $Q_2=\emptyset$ که مجموعه ای مثبت است.

و توجه کنید که برای سایر موارد هم از این نکته استفاده شده که چنانچه $A$ مثبت و $B\subset A$ آنگاه $B$ هم مثبت است.

---

امکانش هست که باهمان دو مجموعه پاسخ بدهید