به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
1,784 بازدید
در دانشگاه توسط zahra (100 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

تمرین ۱- (تقریبِ توزیع دوجمله‌ای بوسیلهٔ توزیع پواسُن) $P$ را یک احتمال دوجمله‌ای با احتمال پیروزیِ $p$ و تعداد تکرار آزمایش $n$ در نظر بگیرید. قرار دهید $\lambda=pn$. نشان دهید که $$P(k\text{ success })=\frac{\lambda^k}{k!}(1-\frac{\lambda}{n})^n\big(\frac{n}{n}(\frac{n-1}{n})\cdots(\frac{n-k+1}{n})\big)(1-\frac{\lambda}{n})^{-k}$$ (واژهٔ انگلیسی success یعنی «پیروزی»). اکنون $n$ را به بینهایت میل دهید، $n\rightarrow\infty$، و بگذارید $p$ به گونه‌ای تغییر کند که $\lambda$ ثابت بماند. نتیجه بگیرید که برای $p$-ِ کوچک و $n$-ِ بزرگ، $$P(k\text{ success })\simeq\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$$ که در آن $\lambda=pn$.

(توجه: در حالت کلی برای اینکه این ترفند تقریب‌زدن یک تقریب خوب بدهد نیاز است که $n$ بزرگ، $p$ کوچک، و همچنین $\lambda=pn$ از اندازهٔ نه خیلی کوچک و نه خیلی بزرگی باشد، برای نمونه $\lambda\leq 20$).

تمرین ۲- (دنبالهٔ موضوعِ تقریب توزیع دوجمله‌ای بوسیلهٔ توزیع پواسن) در چیدمان (تنظیمات) و با نمادگذاری‌های تمرین ۱، قرار دهید $p_k=P(\lbrace k\rbrace)$ و $q_k=1-p_k$. نشان دهید که $q_k$ها احتمال‌های رویدادهای تک‌عضوی $\lbrace k\rbrace$ برای توزیع دوجمله‌ای $B(1-p,n)$ می‌شوند. یک تقریب پواسن برای توزیع دوجمله‌ای زمانی‌که $n$ بزرگ و $p$ نزدیک به یک است بدست‌آورید.

مرجع: کتاب Probability Essentials، نوشتهٔ Jean Jacod و Philip Protter، فصل ۴ تمرین‌های ۱ و ۲.
توسط farshchian2090 (1,135 امتیاز)
+2
لطفا صورت سوال رو تایپ بفرمایید کامل مشخص نیست .
توسط AmirHosein (8,401 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein
@zahra من برایتان متن پرسش را که پیش‌تر عکس گذاشته‌بودید و الآن حذف شده‌است را ترجمه و تایپ می‌کنم ولی از این به بعد وظیفهٔ خودتان است که متن پرسش‌هایتان را ترجمه و تایپ کنید و اگر رعایت نکنید، پرسش جدیدتان بسته و حذف خواهد شد، زیرا این نکات به تعداد دفعات زیادی به شما گوشزد شده‌است. بعلاوه باید تلاش خود و یا مشکل یا ابهام خود را اشاره کنید و همینطور بیشتر از یک سوال را در یک پست پرسش قرار ندهید. به ویژه زمانیکه یکی از پرسش‌ها دنبالهٔ پرسش دیگر است، ابتدا پرسش نخست را بپرسید و پس از گرفتن پاسخ دوباره تلاش کنید تا قسمت بعدی را خودتان با توجه به اطلاعات جدیدی که از پاسخ دریافتی یاد گرفته‌اید حل کنید و اگر هنوز موفق نشدید، آنگاه پرسش بعدی را بپرسید.

1 پاسخ

0 امتیاز
توسط AmirHosein (8,401 امتیاز)

پرسش ۴.۱ کار زیادی ندارد و نمی‌دانم کجایش را مشکل دارید، به هر حال آن را نیز کامل پاسخ می‌دهم اما پرسش ۴.۲ به نظر اشتباه است، نظرم را با یکی از دوستان که پس‌داک هستند در آمار در میان گذاشتم و ایشان با قطعیت گفتند که ۴.۲ اشتباه است. با این حال به نویسنده‌های کتاب ایمیل زدم، اگر پاسخی دادند در همین‌جا اشاره می‌کنم. این دومین پرسشی از شماست که واقعا نیاز به بررسی داشت.

نخست ۴.۱:

این پرسش تنها از چند ساده‌سازی و سپس کمک‌گرفتن از یک فرمول برای عدد نپر تشکیل می‌شود. $$\lambda=np\rightarrow p=\frac{\lambda}{n}$$

به یاد آورید که توزیع دوجمله‌ای با پارامتر پیروزی $p$ و تعداد آزمایش $n$ برابر بود با $$\forall 0\leq k\leq n\;:\;B_{(n,p)}(k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$$

اکنون با جایگذاری $p=\frac{\lambda}{n}$ داریم؛ $$B_{(n,p)}(k)=\binom{n}{k}\frac{\lambda^k}{n^k}(1-\frac{\lambda}{n})^{n-k}=\binom{n}{k}\frac{\lambda^k}{n^k}(1-\frac{\lambda}{n})^{-k}$$

توجه کنید که $$\binom{n}{k}\frac{1}{n^k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\frac{1}{n^k}=\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}=\frac{1}{k!}\frac{n}{n}\frac{n-1}{n}\cdots\frac{n-k+1}{n}$$

با کنار هم گذاشتن دو رابطهٔ پایانی، بخش نخست پرسش بدست می‌آید. $$\begin{array}{lll} B_{(n,p)}(k) & = & \lambda^k(1-\frac{\lambda}{n})^n(1-\frac{\lambda}{n})^{-k}\frac{1}{k!}\frac{n}{n}\frac{n-1}{n}\cdots\frac{n-k+1}{n}\\ & = & \frac{\lambda^k}{k!}(1-\frac{\lambda}{n})^n(\frac{n}{n})(\frac{n-1}{n})\cdots(\frac{n-k+1}{n})(1-\frac{\lambda}{n})^{-k}\end{array}$$

اکنون با ثابت نگه داشتن $\lambda$ و میل دادن $n$ به بینهایت، $p$ به صفر میل می‌کند، پس زمانیکه $p$ خیلی کوچک است و تعداد آزمایش‌ها زیاد، می‌توان از تقریب زدن حاصل $B_{(n,p)}(k)$ با حاصل حد سمت راست رابطهٔ بخش نخست کمک \رفت، اما این تقریب چه می‌شود؟ $$\begin{array}{lll} \lim_{n\rightarrow\infty}B_{(n,p)}(k) & = & \lim_{n\rightarrow\infty}(\frac{\lambda^k}{k!}(1-\frac{\lambda}{n})^n(\frac{n}{n})(\frac{n-1}{n})\cdots(\frac{n-k+1}{n})(1-\frac{\lambda}{n})^{-k})\\ & = & \frac{\lambda^k}{k!}(\lim_{n\rightarrow\infty}(1-\frac{\lambda}{n})^n)(1\times 1\times\cdots\times 1)(1-0)^{-k}\end{array}$$

توجه کنید که $k$ به $n$ وابسته نیست و ثابت است برای همین توانستیم حد را عبور دهیم ولی برای $\lim_{n\rightarrow\infty}(1-\frac{\lambda}{n})^n$ نمی‌توان این کار را انجام داد. به یاد آورید که $\lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{m}{n})^n=e^m$ پس $$\lim_{n\rightarrow\infty}B_{(n,p)}(k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-k}=P_\lambda(k)$$

پس زمانیکه $p$ خیلی کوچک و $n$ خیلی بزرگ است با قرار دادن $\lambda=np$ می‌توانیم دوجمله‌ای با پارامترهای $p$ و $n$ را به وسیلهٔ پواسن با پارامتر $\lambda$ تقریب بزنیم.

اما چرا حکم پرسش ۴.۲ اشتباه است.

دلیل یکم اینکه اگر با نمادها حکم را بنویسیم، می‌شود زمانی‌که $p$ خیلی کوچک و $n$ خیلی بزرگ است با قرار دادن $\lambda=np$ ثابت کنید داریم:

اما اگر عبارت دوجمله‌ای را همچون تمرین ۴.۱ باز کنیم و حد بگیریم، حاصل صفر می‌شود!

دلیل دوم این است که چون $B_{(n,p)}(k)=B_{(n,1-p)}(n-k)$ انتظار می‌رود تقریب مورد نظر زمانیکه $p$ خیلی به یک نزدیک است با توجه به ۴.۱ برابر شود با $P_{n(1-p)}(n-k)$ که برابر با $1-P_{np}(k)$ نیست.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...