پرسش ۴.۱ کار زیادی ندارد و نمیدانم کجایش را مشکل دارید، به هر حال آن را نیز کامل پاسخ میدهم اما پرسش ۴.۲ به نظر اشتباه است، نظرم را با یکی از دوستان که پسداک هستند در آمار در میان گذاشتم و ایشان با قطعیت گفتند که ۴.۲ اشتباه است. با این حال به نویسندههای کتاب ایمیل زدم، اگر پاسخی دادند در همینجا اشاره میکنم. این دومین پرسشی از شماست که واقعا نیاز به بررسی داشت.
نخست ۴.۱:
این پرسش تنها از چند سادهسازی و سپس کمکگرفتن از یک فرمول برای عدد نپر تشکیل میشود.
$$\lambda=np\rightarrow p=\frac{\lambda}{n}$$
به یاد آورید که توزیع دوجملهای با پارامتر پیروزی $p$ و تعداد آزمایش $n$ برابر بود با
$$\forall 0\leq k\leq n\;:\;B_{(n,p)}(k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$$
اکنون با جایگذاری $p=\frac{\lambda}{n}$ داریم؛
$$B_{(n,p)}(k)=\binom{n}{k}\frac{\lambda^k}{n^k}(1-\frac{\lambda}{n})^{n-k}=\binom{n}{k}\frac{\lambda^k}{n^k}(1-\frac{\lambda}{n})^{-k}$$
توجه کنید که
$$\binom{n}{k}\frac{1}{n^k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\frac{1}{n^k}=\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}=\frac{1}{k!}\frac{n}{n}\frac{n-1}{n}\cdots\frac{n-k+1}{n}$$
با کنار هم گذاشتن دو رابطهٔ پایانی، بخش نخست پرسش بدست میآید.
$$\begin{array}{lll}
B_{(n,p)}(k) & = & \lambda^k(1-\frac{\lambda}{n})^n(1-\frac{\lambda}{n})^{-k}\frac{1}{k!}\frac{n}{n}\frac{n-1}{n}\cdots\frac{n-k+1}{n}\\
& = & \frac{\lambda^k}{k!}(1-\frac{\lambda}{n})^n(\frac{n}{n})(\frac{n-1}{n})\cdots(\frac{n-k+1}{n})(1-\frac{\lambda}{n})^{-k}\end{array}$$
اکنون با ثابت نگه داشتن $\lambda$ و میل دادن $n$ به بینهایت، $p$ به صفر میل میکند، پس زمانیکه $p$ خیلی کوچک است و تعداد آزمایشها زیاد، میتوان از تقریب زدن حاصل $B_{(n,p)}(k)$ با حاصل حد سمت راست رابطهٔ بخش نخست کمک \رفت، اما این تقریب چه میشود؟
$$\begin{array}{lll}
\lim_{n\rightarrow\infty}B_{(n,p)}(k) & = & \lim_{n\rightarrow\infty}(\frac{\lambda^k}{k!}(1-\frac{\lambda}{n})^n(\frac{n}{n})(\frac{n-1}{n})\cdots(\frac{n-k+1}{n})(1-\frac{\lambda}{n})^{-k})\\
& = & \frac{\lambda^k}{k!}(\lim_{n\rightarrow\infty}(1-\frac{\lambda}{n})^n)(1\times 1\times\cdots\times 1)(1-0)^{-k}\end{array}$$
توجه کنید که $k$ به $n$ وابسته نیست و ثابت است برای همین توانستیم حد را عبور دهیم ولی برای $\lim_{n\rightarrow\infty}(1-\frac{\lambda}{n})^n$ نمیتوان این کار را انجام داد. به یاد آورید که $\lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{m}{n})^n=e^m$ پس
$$\lim_{n\rightarrow\infty}B_{(n,p)}(k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-k}=P_\lambda(k)$$
پس زمانیکه $p$ خیلی کوچک و $n$ خیلی بزرگ است با قرار دادن $\lambda=np$ میتوانیم دوجملهای با پارامترهای $p$ و $n$ را به وسیلهٔ پواسن با پارامتر $\lambda$ تقریب بزنیم.
اما چرا حکم پرسش ۴.۲ اشتباه است.
دلیل یکم اینکه اگر با نمادها حکم را بنویسیم، میشود زمانیکه $p$ خیلی کوچک و $n$ خیلی بزرگ است با قرار دادن $\lambda=np$ ثابت کنید داریم:
اما اگر عبارت دوجملهای را همچون تمرین ۴.۱ باز کنیم و حد بگیریم، حاصل صفر میشود!
دلیل دوم این است که چون $B_{(n,p)}(k)=B_{(n,1-p)}(n-k)$ انتظار میرود تقریب مورد نظر زمانیکه $p$ خیلی به یک نزدیک است با توجه به ۴.۱ برابر شود با $P_{n(1-p)}(n-k)$ که برابر با $1-P_{np}(k)$ نیست.
