فرض کنیم x برداری باشد که $ \| x \| _{2}=1 $ در این صورت
$ \| Ax \| _{2} ^{2}= x^{H} A^{H} Ax $ چون ماتریس $ A^{H} A $ هرمیتی است پس دارای n بردار ویژه متمایز و متعامد است.فرض کنیم $ u_{1} ,..., u_{n} $ بردارهای ویژه متعامد یکه $ A^{H} A $ باشند.بنابراین
$ u_{i} ^{H} u_{j}= \delta _{ij} $ و $ A^{H} A u_{i} = \lambda _{i} u_{i} $ از طرفی هربردار دلخواه را می توان برحسب بردارهای ویژه نمایش داد یعنی $x= \sum_1^n \alpha _{i} u_{i} $ در نتیجه خواهیم داشت
$ \| Ax \| _{2} ^{2}= x^{H} A^{H} Ax= x^{H} A^{H} A \sum_1^n \alpha _{i} u_{i}=x^{H}\sum_1^n \alpha _{i} A^{H} Au_{i}=x^{H} \sum_1^n \alpha _{i}\lambda _{i} u_{i}= \sum_1^n \overline{ \alpha _{j} } u_{j} ^{H} \sum_1^n \alpha _{i}\lambda _{i} u_{i}= \sum_1^n \ \mid \alpha _{i} \mid ^{2} \lambda _{i} \leq \sum_1^n \ \mid \alpha _{i} \mid ^{2}max( \lambda _{i} )= \rho ( A^{H} A) $
پس شعاع طیفی یک کران بالاست.حالا اگه حالا اگه فرض کنیم شعاع طیفی بزرگترین مقدار ویژه مثلا k امیش باشه و قرار بدیم x رو برابر بردار ویژه نظیر این مقدار ویژه اونوقت می بینیم که شعاع طیفی به دست میاد.پس اثبات تمومه.
$1=x^{H}x= \sum_1^n \overline{ \alpha _{j} }\sum_1^n \alpha _{i} u_{i}= \sum_1^n \ \mid \alpha _{i} \mid ^{2}$و
$ \| Au_{k} \| _{2} ^{2}=u_{k} ^{H}\lambda _{k} u_{k}=\lambda _{k} $
