باید متذکر باشیم بی نهایت گروه از یک مرتبه مشخص وجود دارد زیرا هر گروه از دو قسمت اساسی تشکیل شده است : ۱- مجموعه ۲ - عمل دوتایی که روی آن مجموعه تعریف می کنیم .بنابراین می توان عناصر یک مجموعه را به دلخواه تعریف کرد و همچنین عمل دوتایی که روی آن مجموعه تعریف می کنیم .البته به شرط آنکه مجموعه به همراه عمل دوتایی ساختار گروه داشته باشد . دو مثال از گروه های مرتبه ۳ :
۱ - $ \mathbb {Z_{3}}$ که مجموعه کلاس های همنهشتی به پیمانه 3 است . و عمل دوتایی که روی آن تعریف می شود عمل جمع به پیمانه 3 است . کلاس های همنهشتی به پیمانه 3 عبارتند از :
$$ [0] , [1] , [2] $$ که $[0]$ مجموعه اعداد صحیحی است که باقی مانده تقسیم آنها بر 3 برابر 0 است و $[1]$ مجموعه اعداد صحیحی است که باقی مانده تقسیم آنها بر 3 برابر 1 است و $[2]$ مجموعه اعداد صحیحی است که باقی مانده تقسیم آنها بر 3 برابر 2 است بنابراین داریم :
$$[0] \cup [1] \cup [2] = \mathbb {Z}$$ حال قرار می دهیم :
$$ \mathbb {Z_{3}} = \{[0] , [1] , [2]\}$$ و عمل دوتایی را روی آن به صورت زیر تعریف می کنیم :
$$[a]+[b]=[a+b]$$ که $a+b$ به پیمانه 3 محاسبه می شود .
۲ - $ \mathbb {A_{3}}$ که مجموعه جایگشت های زوج روی مجموعه 3 عضوی {1,2,3} است:$$ \mathbb {A_{3}} =\{e , (123),(132)\} $$ و عمل دوتایی که روی آن تعریف می کنیم همان عمل ترکیب توابع است .
اما همه گروه های مرتبه 3 با گروه $ \mathbb {Z_{3}}$ یکریخت (ایزومورف ) هستند .
