Question

حاصل حد زیر را محاسبه کنید:

$$ \lim_{x \rightarrow 0}ax[\sin \frac{1}{ax}] $$

Comments

تو مثال شما تابع sin کراندار هست لذا حد تابع به صورت صفر ضرب در کراندار خواهد شد که برابر صفر است. حالت مبهم در این مثال مطرح نمیشه

Answer 1

می‌توان از رابطه: $[x]=x-P_x$ که؛ $0 \leq P_x< 1$ و همچنین: این‌که حد حاصل‌ضرب دو تابع (زمانی‌که حد یکی از توابع برابر صفر و تابع دیگر کراندار باشد) برابر صفر است، استفاده کرد. بنابراین با فرض $a \neq 0$ داریم:

$\lim_{x \to 0} ax[\sin(\frac{1}{ax})]=\lim_{x \to 0}\{ax\sin(\frac{1}{ax})-axP_x\}=0-0=0$

Answer 2

شکل این تابع در اطراف صفر هم گویای همین مقدار حد خواهد بود. من این تابع رو به ازای $a=2$ رسم کردم.