رابطهٔ مقدار ویژهٔ ضرب دو ماتریس با مقدار ویژهٔ تک تک ماتریس‌ها

Question

اگر $A$ و $B$ دو ماتریس باشند و $\lambda(A)$ و $\lambda(B)$ مجموعهٔ مقادیر ویژه هریک باشند آنگاه رابطه مجموعهٔ مقادیر ویژه ماتریس $AB$ با دو مجموعهٔ پیشین چیست؟

Comments

سوال سختیه.به راحتی نمیشه بهش جواب داد.

Answer 1

در حالت کلی بدون هیچ فرض اضافه‌تری هیچ رابطه‌ای ندارند.

اگر برداشته‌اید دو ماتریس سه‌گوشی یا قطری را در هم ضرب کرده‌اید و دیده‌اید مقدار ویژه‌های حاصلضرب برابر حاصلضرب مقدار ویژه‌های دو ماتریس شده‌اند، نمی‌توانید نتیجه بگیرید که برای همهٔ ماتریس‌ها برقرار است. $$A=\begin{bmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix}0 & 1\\ 0 & 1\end{bmatrix}$$ مقدار ویژه‌های ماتریس $A$ عدد موهومی و قرینه‌اش هستند و برای $B$ صفر و یک. مقدار ویژه‌های ماتریس $AB$، صفر و منفی یک می‌شوند.

اگر هم رابطهٔ دیگری یافته‌اید، ارائه کنید تا مثال نقضی برایش بسازیم.

Answer 2

فرض کنیم ماتریس های $A$ و $B$ ماتریس های متقارن باشند اگر $ \lambda _{max}(B) $ نامنفی و $A$ معین مثبت باشه آن گاه

$$ \lambda _{i} (AB) \leq \lambda _{i} (A)\lambda _{max}(B)$$

اگر $ \lambda _{min}(B) $ نامنفی و $A$ معین مثبت باشه آن گاه

$$ \lambda _{i} (AB) \geq \lambda _{i} (A)\lambda _{min}(B)$$

برای اطلاعات بیشتر و اثبات به iterative solution methods نوشته owe axelsson رجوع کنید.