به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
541 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط کیوان عباس زاده (3,034 امتیاز)

عدد $ \pi^e $ بزرگتر است یا $ e^ \pi $ ؟ ( $ e$ عدد نپر است)

6 پاسخ

+4 امتیاز
توسط saderi7 (7,822 امتیاز)

$$x>e\implies \frac1x< \frac1e\implies \int_e^{\pi}\frac1x\,dx< \int_e^{\pi}\frac1e\,dx\implies \log \pi < \frac{\pi}e\implies \pi^e< e^\pi$$

+3 امتیاز
توسط fardina (17,196 امتیاز)

کافی است تابع $f(x)=\frac{\ln x}x$ را در نظر بگیرید و مشاهده کنید برای $x> e$ نزولی است و لذا $f(e)> f(\pi)$ که از آنجا به $e^\pi> \pi^e$ خواهید رسید.

توسط کیوان عباس زاده (3,034 امتیاز)
آفرین خیلی خوب بود  !
توسط کیوان عباس زاده (3,034 امتیاز)
سلام  . اصل مطلب همینه که بدونیم اون تابع از کجا اومده ؟
توسط fardina (17,196 امتیاز)
+2
حقیقتش من این سوالو چند سال پیش دیده بودم نمیخوام ایده رو به خودم نسبت بدم. ولی فکر کنم روند اثبات نشون میده چرا باید همچین چیزی به ذهنمون برسه. چرا که $e^\pi<\pi^e$ اگر وتنها اگر با ln گرفتن
 $\frac{\ln e}e<\frac{\ln\pi}\pi$
شاید شما بتونید تابع دیگه ای در نظر بگیرید یا روش دیگه ای پیدا کنید.
+3 امتیاز
توسط kazomano (2,523 امتیاز)
ویرایش شده توسط kazomano

می دانیم $ e^{y} >1+y $برای هر $y>0$.قرار می دهیم $y= \frac{x-e}{e} $ به راحتی نتیجه می شود $ e^{ \frac{1}{e} } > x^{ \frac{1}{x} } $. حال قرار می دهیم $x= \pi $و مسئله حل می شود.این اثباتی قرن نوزدهمی از جاکوب استینر بود.

روش دوم سطح زیر نمودار تابع $y=lnx$ بین $x=e$و $x= \pi $و $y=0$ رو درنظر می گیریم.بدیهیه که $( \pi -e)ln \pi > \int_e^ \pi lnxdx $پس داریم $ ( \pi -e)ln \pi > \pi ln \pi - \pi $یا $ \pi >eln \pi $پس $ e^{ \pi } > \pi ^{e} $.

+3 امتیاز
توسط saderi7 (7,822 امتیاز)

enter image description here

+2 امتیاز
توسط saderi7 (7,822 امتیاز)

$$\displaystyle \pi \ne e$$

$$e^x > 1 + x \rightarrow x \neq 0 $$

$$e^{\pi/e -1} > \pi/e$$

$$e^{\pi/e} > \pi$$

$$e^{\pi} > \pi^e$$

توسط kazomano (2,523 امتیاز)
این همون اثبات بالائیه
توسط saderi7 (7,822 امتیاز)
@kazomano
بله شما درس میفرمایید . توجه نکردم که شما با این روش اثبات کردید.
–1 امتیاز
توسط Erfan.Sh.a. (21 امتیاز)
ویرایش شده توسط Erfan.Sh.a.

سوال آسونیه!

e=2.71828182845905

π=3.14159265358979

پس e به توان π زیادتره


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...