نامساوی چالش برانگیز

Question

عدد $ \pi^e $ بزرگتر است یا $ e^ \pi $ ؟ ( $ e$ عدد نپر است)

Answer 1

$$x>e\implies \frac1x< \frac1e\implies \int_e^{\pi}\frac1x\,dx< \int_e^{\pi}\frac1e\,dx\implies \log \pi < \frac{\pi}e\implies \pi^e< e^\pi$$

Answer 2

کافی است تابع $f(x)=\frac{\ln x}x$ را در نظر بگیرید و مشاهده کنید برای $x> e$ نزولی است و لذا $f(e)> f(\pi)$ که از آنجا به $e^\pi> \pi^e$ خواهید رسید.

Comments

آفرین خیلی خوب بود  !

---

سلام  . اصل مطلب همینه که بدونیم اون تابع از کجا اومده ؟

---

حقیقتش من این سوالو چند سال پیش دیده بودم نمیخوام ایده رو به خودم نسبت بدم. ولی فکر کنم روند اثبات نشون میده چرا باید همچین چیزی به ذهنمون برسه. چرا که $e^\pi<\pi^e$ اگر وتنها اگر با ln گرفتن
 $\frac{\ln e}e<\frac{\ln\pi}\pi$
شاید شما بتونید تابع دیگه ای در نظر بگیرید یا روش دیگه ای پیدا کنید.

Answer 3

می دانیم $ e^{y} >1+y $برای هر $y>0$.قرار می دهیم $y= \frac{x-e}{e} $ به راحتی نتیجه می شود $ e^{ \frac{1}{e} } > x^{ \frac{1}{x} } $. حال قرار می دهیم $x= \pi $و مسئله حل می شود.این اثباتی قرن نوزدهمی از جاکوب استینر بود.

روش دوم سطح زیر نمودار تابع $y=lnx$ بین $x=e$و $x= \pi $و $y=0$ رو درنظر می گیریم.بدیهیه که $( \pi -e)ln \pi > \int_e^ \pi lnxdx $پس داریم $ ( \pi -e)ln \pi > \pi ln \pi - \pi $یا $ \pi >eln \pi $پس $ e^{ \pi } > \pi ^{e} $.

Answer 4

Answer 5

$$\displaystyle \pi \ne e$$

$$e^x > 1 + x \rightarrow x \neq 0 $$

$$e^{\pi/e -1} > \pi/e$$

$$e^{\pi/e} > \pi$$

$$e^{\pi} > \pi^e$$

Comments

این همون اثبات بالائیه

---

@kazomano
بله شما درس میفرمایید . توجه نکردم که شما با این روش اثبات کردید.

Answer 6

سوال آسونیه!

e=2.71828182845905

π=3.14159265358979

پس e به توان π زیادتره