به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
313 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط کیوان عباس زاده

عدد $ \pi^e $ بزرگتر است یا $ e^ \pi $ ؟ ( $ e$ عدد نپر است)

6 پاسخ

+4 امتیاز
توسط saderi7

$$x>e\implies \frac1x<\frac1e\implies \int_e^{\pi}\frac1x\,dx<\int_e^{\pi}\frac1e\,dx\implies \log \pi < \frac{\pi}e\implies \pi^e<e^\pi$$

+3 امتیاز
توسط fardina

کافی است تابع $f(x)=\frac{\ln x}x$ را در نظر بگیرید و مشاهده کنید برای $x> e$ نزولی است و لذا $f(e)> f(\pi)$ که از آنجا به $e^\pi> \pi^e$ خواهید رسید.

توسط کیوان عباس زاده
آفرین خیلی خوب بود  !
توسط کیوان عباس زاده
سلام  . اصل مطلب همینه که بدونیم اون تابع از کجا اومده ؟
توسط fardina
+2
حقیقتش من این سوالو چند سال پیش دیده بودم نمیخوام ایده رو به خودم نسبت بدم. ولی فکر کنم روند اثبات نشون میده چرا باید همچین چیزی به ذهنمون برسه. چرا که $e^\pi<\pi^e$ اگر وتنها اگر با ln گرفتن
 $\frac{\ln e}e<\frac{\ln\pi}\pi$
شاید شما بتونید تابع دیگه ای در نظر بگیرید یا روش دیگه ای پیدا کنید.
+3 امتیاز
توسط kazomano
ویرایش شده توسط kazomano

می دانیم $ e^{y} >1+y $برای هر $y>0$.قرار می دهیم $y= \frac{x-e}{e} $ به راحتی نتیجه می شود $ e^{ \frac{1}{e} } > x^{ \frac{1}{x} } $. حال قرار می دهیم $x= \pi $و مسئله حل می شود.این اثباتی قرن نوزدهمی از جاکوب استینر بود.

روش دوم سطح زیر نمودار تابع $y=lnx$ بین $x=e$و $x= \pi $و $y=0$ رو درنظر می گیریم.بدیهیه که $( \pi -e)ln \pi > \int_e^ \pi lnxdx $پس داریم $ ( \pi -e)ln \pi > \pi ln \pi - \pi $یا $ \pi >eln \pi $پس $ e^{ \pi } > \pi ^{e} $.

+3 امتیاز
توسط saderi7

enter image description here

+2 امتیاز
توسط saderi7

$$\displaystyle \pi \ne e$$

$$e^x > 1 + x \rightarrow x \neq 0 $$

$$e^{\pi/e -1} > \pi/e$$

$$e^{\pi/e} > \pi$$

$$e^{\pi} > \pi^e$$

توسط kazomano
این همون اثبات بالائیه
توسط saderi7
@kazomano
بله شما درس میفرمایید . توجه نکردم که شما با این روش اثبات کردید.
–1 امتیاز
توسط Erfan.Sh.a.
ویرایش شده توسط Erfan.Sh.a.

سوال آسونیه!

e=2.71828182845905

π=3.14159265358979

پس e به توان π زیادتره

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...