به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
49 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط MK90
برچسب گذاری دوباره توسط AmirHosein

نشان دهید اگر $T$ یک قاطع راست نسبت به یک زیرگروه باشد آنگاه $ T^{-1} $ یک قاطع چپ است.

دارای دیدگاه توسط AmirHosein
+1
منظورتان از واژهٔ «قاطع» چه است؟
دارای دیدگاه توسط MK90
+2
transversal

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein
انتخاب شده توسط MK90
 
بهترین پاسخ

یک گروه G و یک زیرگروه H از آن را در نظر بگیرید. یک زیرمجموعه از G مانند H مانند T را یک قاطع (قطع‌کننده، برش‌دهنده) راست از H در G گوئیم هر گاه برای هر هم‌دستهٔ راست از H، اشتراک T با آن دقیقا دارای یک عضو شود.

پس به زبان نمادها داریم؛ $$\begin{array}{l}\forall g\in G\quad|gH\cap T|=1\\ \Longleftrightarrow\forall g\in G\quad\exists! x\in gH\cap T \end{array}$$ برای اینکه نشان دهیم $T^{-1}$ یعنی مجموعهٔ شامل وارون عناصر داخل مجموعهٔ $T$ یک برش‌دهندهٔ چپ از $H$ در G است باید برای هر $g\in G$ نشان دهیم دقیقا یک عضو داخل $Hg\cap T^{-1}$ است. توجه کنید که اگر یک عضو داخل $Hg$ باشد معادل با این است که وارونش داخل $g^{-1}H$ باشد. زیرا

$x\in Hg$ یعنی عضو h ای داخل H بوده‌است که $x=hg$. اکنون وارون بگیرید. $x^{-1}=(hg)^{-1}=g^{-1}h^{-1}$. چون H زیرگروه است پس نسبت به وارون بسته است پس $h^{-1}\in H$ و در نتیجه $x^{-1}\in g^{-1}H$. برعکس فرض کنید $x\in g^{-1}H$، پس h ای در H بوده‌است که $x=g^{-1}h$، دوباره وارون‌گیری انجام می‌دهیم. $x^{-1}=(g^{-1}h)^{-1}=h^{-1}(g^{-1})^{-1}=h^{-1}g$ و به دلیل مشابه پیشین $x^{-1}\in Hg$.

اکنون یک عضو از G مانند g ثابت بردارید. از رابطهٔ بالای صفحه برای همدستهٔ $g^{-1}H$ داریم؛ $$\exists!x\in g^{-1}H\cap T$$ اکنون وارون این x در $Hg$ و همینطور $T^{-1}$ می‌افتد. برای یکتایی توجه کنید که اگر عضو دیگری در $Hg\cap T^{-1}$ بیفتد، با روش مشابه وارون آن عضو در $g^{-1}H\cap(T^{-1})^{-1}=g^{-1}H\cap T$ می‌افتد و چون تنها عنصر در این اشتراک x است پس وارون آن عنصر با x و خودش با وارون x برابر می‌شود که همان عضوی بود که یافته‌بودیم. پس چون برای یک همدستهٔ چپ دلخواه $Hg$ نشان دادیم اشتراک آن با $T^{-1}$ دقیقاً یک عنصر دارد، $T^{-1}$ یک برش‌دهندهٔ چپ از H در G است.

با توجه به اینکه اخیرا هزینه های نگهداری سایت افزایش چشمگیر چند برابری داشته، محفل ریاضی نیازمند حمایت مالی شما است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

ابزارها:

سرگرمی: سودوکو جدید

رسم نمودار: Geogebra جدید

...