یک گروه G و یک زیرگروه H از آن را در نظر بگیرید. یک زیرمجموعه از G مانند H مانند T را یک قاطع (قطعکننده، برشدهنده) راست از H در G گوئیم هر گاه برای هر همدستهٔ راست از H، اشتراک T با آن دقیقا دارای یک عضو شود.
پس به زبان نمادها داریم؛
$$\begin{array}{l}\forall g\in G\quad|gH\cap T|=1\\
\Longleftrightarrow\forall g\in G\quad\exists! x\in gH\cap T \end{array}$$
برای اینکه نشان دهیم $T^{-1}$ یعنی مجموعهٔ شامل وارون عناصر داخل مجموعهٔ $T$ یک برشدهندهٔ چپ از $H$ در G است باید برای هر $g\in G$ نشان دهیم دقیقا یک عضو داخل $Hg\cap T^{-1}$ است. توجه کنید که اگر یک عضو داخل $Hg$ باشد معادل با این است که وارونش داخل $g^{-1}H$ باشد. زیرا
$x\in Hg$ یعنی عضو h ای داخل H بودهاست که $x=hg$. اکنون وارون بگیرید. $x^{-1}=(hg)^{-1}=g^{-1}h^{-1}$. چون H زیرگروه است پس نسبت به وارون بسته است پس $h^{-1}\in H$ و در نتیجه $x^{-1}\in g^{-1}H$. برعکس فرض کنید $x\in g^{-1}H$، پس h ای در H بودهاست که $x=g^{-1}h$، دوباره وارونگیری انجام میدهیم. $x^{-1}=(g^{-1}h)^{-1}=h^{-1}(g^{-1})^{-1}=h^{-1}g$ و به دلیل مشابه پیشین $x^{-1}\in Hg$.
اکنون یک عضو از G مانند g ثابت بردارید. از رابطهٔ بالای صفحه برای همدستهٔ $g^{-1}H$ داریم؛
$$\exists!x\in g^{-1}H\cap T$$
اکنون وارون این x در $Hg$ و همینطور $T^{-1}$ میافتد. برای یکتایی توجه کنید که اگر عضو دیگری در $Hg\cap T^{-1}$ بیفتد، با روش مشابه وارون آن عضو در $g^{-1}H\cap(T^{-1})^{-1}=g^{-1}H\cap T$ میافتد و چون تنها عنصر در این اشتراک x است پس وارون آن عنصر با x و خودش با وارون x برابر میشود که همان عضوی بود که یافتهبودیم. پس چون برای یک همدستهٔ چپ دلخواه $Hg$ نشان دادیم اشتراک آن با $T^{-1}$ دقیقاً یک عنصر دارد، $T^{-1}$ یک برشدهندهٔ چپ از H در G است.
