نخست دقت کنید که
$$\mathbb{Z},\bar{\mathbb{Z}}_p,\mathbb{Z}_p,\mathbb{Z}_{(p)}$$
مجموعهها (ساختارها)ی گونهگونی هستند و نمادهای گوناگون یک مفهوم ریاضی نیستند.
در این پرسش $\mathbb{Z}_n$
مد نظر بوده است. در حقیقت این نمونه یکی از سادهترین نمونههایی است که برای اینکه نشان دهید یک نیمگروه (گروه) که همهٔ زیرنیمگروهها (زیرگروهها)ی آن متناهی مولد هستند الزامی ندارد خود نیز متناهی مولد باشد (من به نیمگروهها اشاره دارم چون با این مجموعه نخست در یادگیری نیمگروهها برخورد داشتهام).
تعریف $\mathbb{Z}_n$
به این شکل است. برای هر عدد طبیعی i، نیمگروه $\bar{\mathbb{Z}}_{n^i}$
را در نظر بگیرید. بین هر دو $\bar{\mathbb{Z}}_{n^i}$
و $\bar{\mathbb{Z}}_{n^j}$
که $i< j$
یک همریختی از $\bar{\mathbb{Z}}_{n^i}$
به $\bar{\mathbb{Z}}_{n^j}$
تعریف میکنیم که عنصر $\bar{1}$
در یکمی را به عنصر $\bar{n}^{j-i}$
در دومی ببرد. چون این دو نیمگروه دوری هستند همریختیمان با تنها تعریف کردنش روی عنصر مولد نیمگروه دوری دامنه به گونهٔ یکتا مشخص میشود. میتوانید ببینید که این همریختیها یک به یک هستند پس در واقع $\bar{\mathbb{Z}}_{n^i}$
در $\bar{\mathbb{Z}}_{n^j}$
هایی که $i< j$
نشانده میشود. پس بدون کاستن از کلیت میتوانیم این نیمگروهها را با تصاویرشان در نیمگروه بزرگتر یکی بگیریم و بگوئیم این نیمگروهها نیمگروههایی تو در تو هستند و هر یک زیرمجموعهٔ بالاتریها است. اکنون با توجه به قضیهٔ پرکاربردی که در قسمتهای گوناگون جبر آن را میبینید چه برای فضاهای برداری، چه نیمگروهها، حلقهها، مدولها و ... که اجتماع ساختارهای تودرتو دوباره یک ساختار میگردد. هر چند این مفهوم یک مفهوم رستهای است و آنچه ما با تکریختیها (همریختیهای یک به یک) انجام دادیم در یک رسته با اشیاء و ریختارها قابل تعریف است و نام خودش را دارد ولی در اینجا صرفاً برای یک مخاطب با پایهٔ جبر یک کارشناسی صحبت میکنیم که ممکن با نظریهٔ رسته آشنایی نداشته باشد و نیازی به مجردکاری و تخصصیتر کردن بحث برای پاسخدهی به این پرسش آسان نیست. به هر حال، اجتماع این $\bar{\mathbb{Z}}_{n^i}$
ها یک نیمگروه میشود. ضرب دو عنصر در این نیمگروه به این شکل تعریف میشود؛ اگر $x,y\in\mathbb{Z}_n$
آنگاه میبایست $i$
و $j$
ای باشند که $x\in\bar{\mathbb{Z}}_{n^i}$
و $y\in\bar{\mathbb{Z}}_{n^j}$
(به یاد داشته باشید که این نیمگروههای باقیماندهای و تصاویرشان تحت آن تکریختیهای نیمگروهی را یکی گرفتهایم) چون نیمگروههایمان جابجایی هستند ضرب از چپ یا زاست تفاوتی ندارد و میتوان بدون کاستن از کلیت حداکثر با یک بازنمادگذاری و جابجایی دو عنصرمان در ضرب فرض کنیم $i< j$
، در آنصورت هر دوی $x,y$
در $\bar{\mathbb{Z}}_{n^j}$
هستند (نیمگروههای باقیماندهایمان را به کمک تکریختیهای نیمذگروهیمان زیرمجموعهٔ یکدیگر در نظر گرفتیم)، در اینصورت ضرب این دو عنصر را در $\bar{\mathbb{Z}}_{n^j}$
انجام میدهیم (توجه کنید که x با $\phi(x)$
جایگزین میشود که $\phi$
تکریختی از $\bar{\mathbb{Z}}_{n^i}$
به $\bar{\mathbb{Z}}_{n^j}$
است).
نامتناهی بودن $\mathbb{Z}_n$
روشن است چون همهٔ $\bar{\mathbb{Z}}_{n^i}$
ها را در بردارد پس عدد اصلی آن بزرگتر از عدد اصلی تک تک اینها است پس؛
$$\forall i\in\mathbb{N}\;:\;|\mathbb{Z}_n|\geq n^i$$
چون مجموعهٔ $\{n^i|i\in\mathbb{N}\}$
از بالا بیکران است پس $|\mathbb{Z}_n|$
نامتناهی است.
نامتناهی مولد بودن $\mathbb{Z}_n$
نیز روشن است. یک مجموعهٔ متناهی از عنصرهای این نیمگروه را در نظر بگیرید مانند $\{x_1,\cdots,x_m\}$
. هر یک از این $x_i$
ها عضو یک $\bar{\mathbb{Z}}_{n^{j_i}}$
ای است. با قرار دادن $k:=\max\{j_1,\cdots,j_m\}$
همهٔ این عنصرها در $\bar{\mathbb{Z}}_{n^k}$
قرار میگیرند و نمیتوان عنصر $\bar{1}$ از $\bar{\mathbb{Z}}_{n^i}$
های با $i>k$
را داشت یا به نوع دیگری نگاه کنیم در بهترین حالت این مجموعه میتواند $\bar{\mathbb{Z}}_{n^k}$
را تولید کند که متناهی عضو دارد درحالیکه نیمگروهمان نامتناهی است. پس هیچ زیرمجموعهٔ متناهیای از
$\mathbb{Z}_n$
، آنرا تولید نمیکند.
در اثبات نامتناهی مولد بودن $\mathbb{Z}_n$
ناخودآگاه این مطلب را نیز اثبات کردیم که هر زیرگروه متناهی مولد آن متناهی است.
در حالتی که n اول باشد میتوانیم حتی بیشتر از این در مورد زیرنیمگروهها کشف کنیم.
اکنون یک زیرنیمگروه دلخواه از این نیمگروه مانند H بردارید. توجه کنید که برای هز عضوی از این نیمگروه میتوان یک عدد نسبت داد که برابر است با کوچکترین توانی از n مانند i که این عضو، درون $\bar{\mathbb{Z}}_{n^i}$
قرار میگیرد. برای این عدد بیایید یک نام بگذاریم، آنرا موقتاً مرتبهٔ آن عنصر بنامید (مرتبهٔ یک عنصر تعریف دیگری دارد و در اینجا تنها به گونهٔ موقت بیایید از این نام برای کاری دیگر استفاده کنیم). اگر سوپریمم مرتبهٔ عنصرهای درون H متناهی باشد، به فرض k، آنگاه H درون $\bar{\mathbb{Z}}_{n^k}$
جای میگیرد و چون زیرنیمگروهی متناهی میشود پس متناهیمولد نیز میگردد. اگر این سوپریمم متناهی نشود ثابت میکنیم که برابر با کل $\mathbb{Z}_n$
است. فرض کنید اینگونه نباشد پس عضوی از $\mathbb{Z}_n$
وجود دارد که در H نیست. فرض کنید مرتبهٔ این عنصر k باشد پس این عنصر متعلق به
$\bar{\mathbb{Z}}_{n^i}$
هایی که $i < k$
نیست بنابراین برابر $\bar{a}$
ای است که $a$
نسبت به $n$
ساده نمیشود (اگر ساده شود میتوان آنرا در مرتبهٔ پائینتر انداخت که تناقض است). اگر در H عضوی باشد که مرتبهٔ برابر k داشته باشد آنگاه آن عضو نیز در $\bar{\mathbb{Z}}_{n^k}$
قرار میگیرد و چون نسبت به n ساده نمیشود و n در این گام اول فرض شدهاست پس یک مولد برای نیمگروه $\bar{\mathbb{Z}}_{n^k}$
است و در نتیجه باید $\bar{a}$
را نیز در زیرنیمذگروه تولیدیاش بیندازد که تناقض با فرض $\bar{a}\not\in\mathbb{Z}_n$
دارد. پس هیچ عنصری با مرتبهٔ k در H نیست. اینک اگر عنصری از مرتبهٔ بیشتر از k در H باشد توجه میکنیم که با دلیلی مشابه پیش، این عضو مولدی باری نیمگروه $\bar{\mathbb{Z}}_{n^i}$
ای که عضوش است و i مرتبهاش است میشود اما $\bar{\mathbb{Z}}_{n^k}$
زیرنیمگروهی از آن میشود چون $k<i$ و در نتیجه a بوسیلهٔ آن عضو تولید میشود و دوباره تناقض مشابه داریم. پس مرتبهٔ اعضای H حداکثر میتواند $k-1$ باشد که تناقض با این فرض دارد که سوپریمم مرتبهٔ اعضای H متناهی نیست. پس فرض خلف باطل و از آنجا اگر سوپریمم مرتبهٔ عنصرهای H متناهی نشود، H برابر با کل $\mathbb{Z}_n$
میشود.
پس ثابت کردیم که $\mathbb{Z}_n$
یک نیمگروه نامتناهی است که نامتناهیمولد است و هر زیرنیمگروه متناهی مولد آن متناهی است. در حالتیکه n اول است، همهٔ زیرگروههای سرهاش متناهیمولد و حتی بیشتر یعنی متناهی هستند و حتی بیشتر برابر یکی از $\bar{\mathbb{Z}}_{n^i}$
ها است که i سوپریمم مرتبهٔ اعضای داخل آن زیرنیمگروه باشد.
توجه کنید که همین اثبات تنها با دقت به اینکه تکریختیهای استفادهشدهمان همریختی گروهی نیز هستند حکمهای مشابه با جایگزین کردن واژهٔ نیمگروه با گروه میدهد.
تذکر: خیلی افراد با این مجموعه آشنا نیستند و همیشه مجموعه ردههای باقیماندهای را بدون خط بالای Z نمایش میدهند که خیلی پسندیده نیست. نه تنها در داخل ایران بلکه در همهجا این مشکل وجود دارد. ولی ریاضیدانانی که از وجود این ساختار آگاهی دارند هرگز خط بالای Z برای مجموعهٔ ردههای باقیماندهای را فراموش نمیکنند و یا اگر برای کمترنویسی در یک کتاب یا متن طولانی بخواهند از گذاشتن خط بالای Z برای ردههای باقیماندهای صرفنظر کنند (در متنهایی که به مجموعهٔ یادشده در این پرسش هیچ کاری ندارند) در ابتدای بحث اشاره میکنند یا در بخشی که فهرست علامتهای مورد استفادهٔ کتاب است منظورشان را مشخص میکنند.
