نامساوی.( دانشگاه تورنتو)

Question

فرض کنیم $a>0,b>0,c>0$و $a<bc$ و $1+ a^{3} = b^{3} + c^{3} $.ثابت کنید $ 1+a<b+c $.

Answer 1

چون $(1+a)(1-a+ a^{2} )=(b+c)( b^{2} -bc+ c^{2} )$ و چون $ (1-a+ a^{2} ),b^{2} -bc+ c^{2}= \frac{1}{2} (b-c)^{2} + \frac{1}{2} ( b^{2} + c^{2} ) $ مثبت است پس

$1+a< b+c \Longleftrightarrow 1-a+ a^{2}>b^{2} -bc+ c^{2}$.

حال فرض کنیم حکم برقرار نباشد یعنی $ 1+a \geq b+c $ آنگاه

$ b^{2} -bc+ c^{2} \geq 1-a+ a^{2} \Rightarrow (b+c)^{2} -3bc \geq (1+a)^{2} -3a>(1+a)^{2}-3bc \Rightarrow b+c>1+a $

که تنافضه

Answer 2

این برهان از [J. Chui] می باشد.

گیریم $u=(1+a)-(b+c)$ آن گاه

$ (1+a)^{3} - (b+c)^{3} =u[(1+a)^{2} +(1+a)(b+c)+ (b+c)^{2} ] $

اما

$ (1+a)^{3} - (b+c)^{3} =(1+ a^{3} )-( b^{3} + c^{3} ) +3a(1+a)-3bc(b+c)=0+3[a(1+a)-bc(b+c)]< 3bcu$

بنابراین

$ u[(1+a)^{2} +(1+a)(b+c)+ b^{2} -bc+ c^{2} ] < 0$

حال چون داخل براکت مثبت پس باید $u< 0$ و اثبات تمام است.