حد دنباله دانشگاه تورنتو

Question

فرض کنیم $ a_{n} , b_{n} $ دنباله های حقیقی مثبت باشند به طوری که

$ \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{ a_{n} }{n}=u>0 $ و

$ \lim_{n \rightarrow \infty } ( \frac{ b_{n} }{ a_{n} } )^{n}=v>0 $ نشان دهید

$ \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{ b_{n} }{ a_{n} } =1$و $ \lim_{n \rightarrow \infty } ( b_{n} - a_{n} )=ulogv$

Comments

سلام . این سوال که تغییری نکرده . بازم همونه !

---

چرا دیگه الان تغییر کرده توان 2 شده n

Answer 1

$ \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{ b_{n} }{ a_{n} }= \lim_{n \rightarrow \infty } exp \frac{1}{n} ln ( \frac{ b_{n} }{ a_{n} } )^{n} =exp0=1 $

فرض کنیم $v \neq 1$.برای n به اندازه کافی بزرگ و$ a_{n} \neq b_{n} $

داریم

$( a_{n} - b_{n} )[( \frac{ a_{n} }{ b_{n} - a_{n} } )ln(1+ \frac{b_{n} - a_{n}}{ a_{n} } )]= \frac{ a_{n} }{n} ln ( \frac{ b_{n} }{ a_{n} } )^{n} $

از طرفی $ \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{b_{n} - a_{n}}{a_{n}}=0 $ و

$ \lim_{t \rightarrow 0} \frac{ln(1+t)}{t}=1 $ بنابراین $ \lim_{a \rightarrow b} (b_{n} - a_{n}).1=ulnv$

Answer 2

فک کنم حکم مسئله اشتباه است چون قرار دهید $a_{n}=3n+1$ داریم : $$lim_{n \rightarrow \infty }\frac{a_{n}}{n}=\frac{3n+1}{n}=3$$ پس $u=3$ . حال قرار دهید $b_{n}=2n+1$ داریم : $$lim_{n \rightarrow \infty }(\frac{a_{n}}{b_{n}})^2=lim_{n \rightarrow \infty }(\frac{3n+1}{2n+1})^2=\frac{9}{4}$$ پس $v=\frac{9}{4}$ . حال داریم : $$lim_{n \rightarrow \infty }\frac{b_{n}}{a_{n}}=lim_{n \rightarrow \infty }\frac{2n+1}{3n+1}=\frac{2}{3} \neq 1$$ و همچنین داریم : $$lim_{n \rightarrow \infty }(b_{n}-a_{n})=lim_{n \rightarrow \infty }(2n+1-3n-1)=- \infty $$ در صورتی که داریم : $$u\ log\ v=3\ log\ (\frac{9}{4})$$

Comments

عذر میخوام.درست میگی.سوال رو اشتباه نوشتم.تصحیح کردم