به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
1,278 بازدید
در دبیرستان توسط Taha1381
ویرایش شده توسط Taha1381

با سلام می خواستم بپرسم که چرا حد این دنباله ها برابر عدد نپر می شه.

$\lim\limits_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n})^n=e$

$\lim\limits_{n\to \infty} \frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}=\dots+\frac{1}{n!}=e$

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط vali
انتخاب شده توسط Taha1381
 
بهترین پاسخ

قرار می‌دهیم:

$$S_n=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\dotsb+\frac{1}{n!}=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}$$

به استقراء می‌توان ثابت کرد به ازای هر عدد طبیعی $n$، $n! >2^{n-1}$. لذا:

$$S_n \leq 1+1+\frac{1}{2}+\dotsb+\frac{1}{2^{n-1}}\leq 1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n-1}}=3$$ بنابراین، ${S_n}$ همگراست. با توجه به بسط مک‌لورن تابع $\mathrm{e}^x$، مقدار سری $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}$ را به $\mathrm{e}$ نمایش می‌دهیم.

فرض کنید $T_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$. با بسط دادن داریم: $ \begin{align*} T_{n} &=\sum_{k=0}^{n}\genfrac{(}{)}{0pt}{}{n}{k}\:\frac{1}{n^k}\\ &= \genfrac{(}{)}{0pt}{}{n}{0}+\genfrac{(}{)}{0pt}{}{n}{1}\:\frac{1}{n^1}+\genfrac{(}{)}{0pt}{}{n}{2}\:\frac{1}{n^2}+\dotsb+\genfrac{(}{)}{0pt}{}{n}{k}\:\frac{1}{n^k}+\dotsb+\genfrac{(}{)}{0pt}{}{n}{n}\:\frac{1}{n^n}\\ &=1+1+\frac{n(n-1)}{2!}\times\frac{1}{n^2}+\dotsb+\frac{n(n-1)\dots(n-k+1)}{k!}\times\frac{1}{n^k}\\ &\dotsb+\frac{n(n-1)(n-2)\dots(2)(1)}{n!}\times\frac{1}{n^n}\\ &=1+1+\frac{1}{2!}\left(1-\frac{1}{n} \right)+\dotsb+\frac{1}{k!}\left(1-\frac{1}{n} \right)\left(1-\frac{2}{n} \right)\ldots\left(1-\frac{k-1}{n} \right)\\ &\dotsb \frac{1}{n!}\left(1-\frac{1}{n} \right)\left(1-\frac{2}{n} \right)\ldots\left(1-\frac{n-1}{n} \right) \end{align*} $

همه عبارت‌ها به‌صورت $\left(1-\frac{i}{n} \right)$ برای هر $\left(1\leq i \leq n-1\right)$

کوچکتر از یک می‌باشد. بنابراین:

$\begin{align*} T_{n} &=1+1+\frac{1}{2!}\left(1-\frac{1}{n} \right)+\dotsb+\frac{1}{k!}\left(1-\frac{1}{n} \right)\left(1-\frac{2}{n} \right)\ldots\left(1-\frac{k-1}{n} \right)\\ &\dotsb \frac{1}{n!}\left(1-\frac{1}{n} \right)\left(1-\frac{2}{n} \right)\ldots\left(1-\frac{n-1}{n} \right)\\ &\leq 1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\dotsb+\frac{1}{k!}+\dotsb+\frac{1}{n!}=S_n \end{align*}$

حال با استفاده از حد بالا داریم: $$\limsup\limits_{n \to \infty}T_n \leq \mathrm{e} $$ حال اگر $m$ یک عدد طبیعی دلخواه باشد و $n\geq m$، آن‌گاه: $ \begin{align*} T_{n} &=1+1+\frac{1}{2!}\left(1-\frac{1}{n} \right)+\dotsb+\frac{1}{m!}\left(1-\frac{1}{n} \right)\left(1-\frac{2}{n} \right)\ldots\left(1-\frac{m-1}{n} \right)\\ &\dotsb \frac{1}{n!}\left(1-\frac{1}{n} \right)\left(1-\frac{2}{n} \right)\ldots\left(1-\frac{n-1}{n} \right)\\ &\geq 1+1+\frac{1}{2!}\left(1-\frac{1}{n} \right)+\dotsb+\frac{1}{m!}\left(1-\frac{1}{n} \right)\left(1-\frac{2}{n} \right)\ldots\left(1-\frac{m-1}{n} \right) \end{align*} $

اگر $m$ را ثابت نگه داریم و $n \to \infty$، داریم: $$\liminf\limits_{n \to \infty}T_n \geq1+1+\frac{1}{2!}+\dotsb+\frac{1}{m!}=S_m$$ به کمک حدگیری، وقتی که $m \to \infty$، خواهیم داشت: $$\liminf\limits_{n \to \infty}T_n \geq\mathrm{e}$$ حال با توجه به رابطه $$ \mathrm{e}\leq \liminf\limits_{n \to \infty}T_n\leq \limsup\limits_{n \to \infty}T_n \leq \mathrm{e} $$ نتیجه‌ می‌گیریم که $$ \lim\limits_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\mathrm{e} $$

توسط Taha1381
ببخشید میشه در مورد بسط مک لورن اطلاعات بیشتری بدید.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...