قرار میدهیم:
$$S_n=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\dotsb+\frac{1}{n!}=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}$$
به استقراء میتوان ثابت کرد به ازای هر عدد طبیعی $n$،
$n! >2^{n-1}$.
لذا:
$$S_n \leq 1+1+\frac{1}{2}+\dotsb+\frac{1}{2^{n-1}}\leq 1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n-1}}=3$$
بنابراین،
$\{S_n\}$
همگراست. با توجه به بسط مکلورن تابع
$\mathrm{e}^x$،
مقدار سری
$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}$
را به
$\mathrm{e}$
نمایش میدهیم.
فرض کنید
$T_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$.
با بسط دادن داریم:
$ \begin{align*}
T_{n} &=\sum_{k=0}^{n}\genfrac{(}{)}{0pt}{}{n}{k}\:\frac{1}{n^k}\\
&= \genfrac{(}{)}{0pt}{}{n}{0}+\genfrac{(}{)}{0pt}{}{n}{1}\:\frac{1}{n^1}+\genfrac{(}{)}{0pt}{}{n}{2}\:\frac{1}{n^2}+\dotsb+\genfrac{(}{)}{0pt}{}{n}{k}\:\frac{1}{n^k}+\dotsb+\genfrac{(}{)}{0pt}{}{n}{n}\:\frac{1}{n^n}\\
&=1+1+\frac{n(n-1)}{2!}\times\frac{1}{n^2}+\dotsb+\frac{n(n-1)\dots(n-k+1)}{k!}\times\frac{1}{n^k}\\
&\dotsb+\frac{n(n-1)(n-2)\dots(2)(1)}{n!}\times\frac{1}{n^n}\\
&=1+1+\frac{1}{2!}\left(1-\frac{1}{n} \right)+\dotsb+\frac{1}{k!}\left(1-\frac{1}{n} \right)\left(1-\frac{2}{n} \right)\ldots\left(1-\frac{k-1}{n} \right)\\
&\dotsb \frac{1}{n!}\left(1-\frac{1}{n} \right)\left(1-\frac{2}{n} \right)\ldots\left(1-\frac{n-1}{n} \right)
\end{align*} $
همه عبارتها بهصورت
$\left(1-\frac{i}{n} \right)$
برای هر
$\left(1\leq i \leq n-1\right)$
کوچکتر از یک میباشد. بنابراین:
$\begin{align*}
T_{n} &=1+1+\frac{1}{2!}\left(1-\frac{1}{n} \right)+\dotsb+\frac{1}{k!}\left(1-\frac{1}{n} \right)\left(1-\frac{2}{n} \right)\ldots\left(1-\frac{k-1}{n} \right)\\
&\dotsb \frac{1}{n!}\left(1-\frac{1}{n} \right)\left(1-\frac{2}{n} \right)\ldots\left(1-\frac{n-1}{n} \right)\\
&\leq 1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\dotsb+\frac{1}{k!}+\dotsb+\frac{1}{n!}=S_n
\end{align*}$
حال با استفاده از حد بالا داریم:
$$\limsup\limits_{n \to \infty}T_n \leq \mathrm{e} $$
حال اگر $m$ یک عدد طبیعی دلخواه باشد و
$n\geq m$،
آنگاه:
$ \begin{align*}
T_{n} &=1+1+\frac{1}{2!}\left(1-\frac{1}{n} \right)+\dotsb+\frac{1}{m!}\left(1-\frac{1}{n} \right)\left(1-\frac{2}{n} \right)\ldots\left(1-\frac{m-1}{n} \right)\\
&\dotsb \frac{1}{n!}\left(1-\frac{1}{n} \right)\left(1-\frac{2}{n} \right)\ldots\left(1-\frac{n-1}{n} \right)\\
&\geq 1+1+\frac{1}{2!}\left(1-\frac{1}{n} \right)+\dotsb+\frac{1}{m!}\left(1-\frac{1}{n} \right)\left(1-\frac{2}{n} \right)\ldots\left(1-\frac{m-1}{n} \right)
\end{align*} $
اگر $m$ را ثابت نگه داریم و
$n \to \infty$،
داریم:
$$\liminf\limits_{n \to \infty}T_n \geq1+1+\frac{1}{2!}+\dotsb+\frac{1}{m!}=S_m$$
به کمک حدگیری، وقتی که
$m \to \infty$،
خواهیم داشت:
$$\liminf\limits_{n \to \infty}T_n \geq\mathrm{e}$$
حال با توجه به رابطه
$$
\mathrm{e}\leq \liminf\limits_{n \to \infty}T_n\leq \limsup\limits_{n \to \infty}T_n \leq \mathrm{e}
$$
نتیجه میگیریم که
$$
\lim\limits_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\mathrm{e}
$$
