از این نکته استفاده می کنیم که به ازای هر عدد حقیقی $x$ , عدد
$ \frac{- \pi }{2} < \theta < \frac{ \pi }{2} $ وجود دارد که $x=tan\ \theta $ . حال فرض کنید $7$ عدد حقیقی متمایز در اختیار داریم که عبارتند از :
$$x_{1},x_{2},...,x_{7}$$ پس $7$ عدد متمایز $ \theta _{1}, \theta _{2},..., \theta _{7} $ در بازه $(\frac{- \pi }{2}, \frac{ \pi }{2})$ وجود دارند که :
$$x_{1}=tan\ \theta _{1}\ ,\ x_{2}=tan\ \theta _{2},\ ... ,\ x_{7}=tan\ \theta _{7}$$
بازه $(\frac{- \pi }{2}, \frac{ \pi }{2})$ را به $6$ قسمت مساوی تقسیم می کنیم که طول هر قسمت $\frac{ \pi }{6}$ است . طبق اصل لانه کبوتری حداقل $2$ عدد از میان $7$ عدد $ \theta _{1},...,\theta _{7} $ در یکی از این $6$ قسمت قرار می گیرند به عبارتی $i,j$ وجود دارند که $i \neq j$ و $| \theta _{i}- \theta _{j}| \leq \frac{ \pi }{6}$ . می توان فرض کرد که داریم $ \theta _{j} < \theta _{i} $ پس $ 0 < \theta _{i}- \theta _{j} \leq \frac{ \pi }{6} $ . حال از طرفین $tan$ می گیریم داریم :
$$ 0<tan(\theta _{i}- \theta _{j}) \leq \frac{\sqrt{3}}{3}$$
$$ 0< \frac{tan\ \theta _{i}-tan\ \theta _{j}}{1+tan\ \theta _{i}\ tan\ \theta _{j}}\leq \frac{\sqrt{3}}{3}$$
$$ 0< \frac{x_{i}-x_{j}}{1+x_{i}x_{j}}\leq \frac{\sqrt{3}}{3}$$
و حکم ثابت شد .
