اشتباه انتگرال

Question

اشتباه استدلال زیر در کجاست با تغییر متغیر $y=cx ,c>0$ داریم

$ \int_0^ \infty \frac{ e^{-ax} - e^{-bx} }{x}dx= \int_0^ \infty \frac{ e^{-ax} }{x}dx- \int_0^ \infty \frac{ e^{-bx} }{x} dx = \int_0^ \infty \frac{ e^{-y} }{y} dy - \int_0^ \infty \frac{ e^{-y} }{y} dy=0 $

ولی می دانیم که انتگرال سمت چپ برابر $ln( \frac{b}{a}) $.

Answer 1

انتگرال $ \int_0^{ \infty }\frac{e^{-y}}{y} \ dx $ واگرا به $ \infty $ است پس : $$ \int_0^ \infty \frac{ e^{-y} }{y} dy - \int_0^ \infty \frac{ e^{-y} }{y} dy= \infty - \infty $$ که مبهم است .

Answer 2

$$\begin{align} \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-bx} - e^{-ax}}{x} \, dx &= - \int_{0}^{\infty} \int_{a}^{b} e^{-xt} dt \, dx \\ &= - \int_{a}^{b} \int_{0}^{\infty} e^{-xt} dx \, dt \\ &= - \int_{a}^{b} \frac{dt}{t} = - \left[ \log x \right]_{a}^{b} = \log\left(\frac{a}{b}\right). \end{align}$$

Comments

هیچی معلوم نیست لطفا ویرایش کنید.

---

سه باز ویرایش کردم نشد .
بازم سعی میکنم .

---

آفرین به شما .ولی شما راه حلو گفتید نه اشکال استدلالو.

---

خواهش میکنم .
درسته من خواستم فقط به روش دیگه بذارم .

Answer 3

$$\begin{align}&\int_{0}^{\infty}\frac{\exp(-ax) - \exp(-bx)}{x}dx \\ &= \lim_{\epsilon\to 0}\int_{\epsilon}^{\infty}\frac{\exp(-ax) - \exp(-bx)}{x}dx\\ &=\lim_{\epsilon\to 0}\left[\int_{\epsilon}^{\infty}\frac{\exp(-ax)}{x}dx - \int_{\epsilon}^{\infty}\frac{\exp(-bx)}{x}dx\right]\\ &=\lim_{\epsilon\to 0}\left[\int_{a\epsilon}^{\infty}\frac{\exp(-t)}{t}dt - \int_{b\epsilon}^{\infty}\frac{\exp(-t)}{t}dt\right]\\ &=\lim_{\epsilon\to 0}\int_{a\epsilon}^{b\epsilon}\frac{\exp(-t)}{t}dt=\lim_{\epsilon\to 0}\int_{a}^{b}\frac{\exp(-\epsilon u)}{u}du \end{align} $$