تقسیم یک مثلث متساوی الاضلاع به Nقسمت همنهشت

Question

چگونه می توان یک مثلث متساوی الاضلاع را به Nقسمت همنهشت تقسیم کرد؟ آیا به ازای هر N امکان پذیر است؟ اگرنیست به ازای چه Nهایی امکان پذیر است؟ اگر هست روش کلی افراز را بنویسید.

Comments

مثلث متساوی الاضلاع را می توان به چهار صورت  زیر تقسیم کرد برای هر nطبیعی
$$n^2\; , \;2n^2 \;, \;3n^2\;,\;6n^2
$$

 -

---

لطفا اثبات فرمایید

---

آیا اثبات هم دارد؟

Answer 1

• به چهار حالت زیر نحوه تقسیم مثلث را بیان می کنیم:

-حالت1) هر مثلث را می توان به$ n^2$ مثلث همنهشت تقسیم کرد کافی است هر ضلع به n قسمت مساوی تقسیم کنید و از هر نقطه به موازات اضلاع مثلث تقسیم کنید

• تعداد مثلث ها را در هر سطر از بالا بشمارید، خواهیم داشت $$1+3+5+...+(2n-1)=n^2 $$
• اثبات این تساوی به روش‌های مختلف می توان تقسیم کرد. با روش استقرا ریاضی هم بسادگی قابل اثبات است.

• حالت2) یک میانه مثلث متساوی الاضلاع را رسم می کنیم به دو مثلث همنهشت تقسیم می شود که هر یک را طبق حالت1 می توان به $ n^2 $ مثلث همنهشت تقسیم کرد بنابراین در اینحالت مثلث متساوی الاضلاع به $2n^2 $ قابل تقسیم می باشد.

• حالت3) از نقطه مرکز مثلث به سه راس آن وصل کنید تا به سه مثلث هم نهشت تقسیم شود مانند قبل با استفاده از حالت 1 هر کدام به $n^2 $ مثلث تقسیم می شود. پس در این حالت مثلث می توان به $3n^2 $ تقسیم کرد.

• حالت4) ترکیب دو حالت قبل بعبارتی سه میانه مثلث متساوی الاضلاع رسم می کنیم مثلث به 6 قسمت تقسیم می شه در نهایت با توجه به حالت 1 مثلث به $ 6n^2 $ مثلث هم نهشت تقسیم می شود.

• بنابراین مثلث متساوی الاضلاع را می توان به $n^2 $ یا $2n^2 $ یا$3n^2 $ و یا $6n^2 $ مثلث همنهشت تقسیم کرد.

Answer 2

اگر وسط اضلاع مثلث متساوی الاضلاع را به هم وصل کنیم به چهار مثلث متساوی الاضلاع هم نهشت میرسیم واین موضوع برای مثلث های حاصل شده نیز صدق خواهد کرد پس پاسخ همیشه برابر یکی از توانهای طبیعی 4 خواهد بود یعنی 4- 16 - 64- 256 - و ...

Comments

@seiedirani ارتفاع رسم کنیم به دو مثلث همنهشت تقسیم می شود اما توانی از 4 نیست.

---

@seiedirani شما میتوانید آن را به 2، 3 ، 6، ... مثلث ها ی همنهشت نیز تقسیم کنید. آیا به 5 مثلث همنهشت نیز ممکن است؟

---

با سلام واحترام
با توجه به توضیح تکمیلی شما پس جواب کاملتر عدد 2 و توانهای طبیعی 4 خواهد بود
2 یا 4 یا 16 یا 64 یا 256 یا ....

---

@seiedirani شما اگر در مثلث متساوی الاضلاع نیمسازها (میانه ها،...) را تا نقطه همرسی آنها رسم کنید به سه مثلث همنهشت تقسیم می شود

---

کاملا صحیح است
پس 2 یا 3 یا 4 یا 6 یا 16 یا 64 یا ....
یعنی بعد از 6 تقسیم دیگر مضرب 2 یا 3 نخواهیم داشت وظاهرا پاسخ کامل با توجه به توضیحات تکمیلی دوستان واساتید

---

@seiedirani جوابهای شما زیر مجموعه ای از جواب های راه حلم می باشه. در بین جوابهای شما 8 یا 12 یا 27 و. .. وجود نداره.