جبر (اتحاد)

Question

اگر $x- \frac{1}{x} = \sqrt{x} + \sqrt{ \frac{1}{x} }$ باشد مقدار $x^{2} + x^{-2}$ را بدست آورید؟

Answer 1

ابتدا نشان می دهیم که:

$$x^2+(\frac{1}{x})^2=(x-\frac{1}{x})^2+2$$

اثبات: از سمت راست تساوی شروع می کنیم و به سمت چپ تساوی می رسیم.

$$(x-\frac{1}{x})^2+2=x^2-2+(\frac{1}{x})^2+2=x^2+(\frac{1}{x})^2~~~ \Box$$

پس در سوال مطرح شده از رابطه بالا استفاده می کنیم وداریم:

$$x^2+x^{-2}=x^2+(\frac{1}{x})^2=(x-\frac{1}{x})^2+2=(\sqrt{x}+\sqrt{\frac{1}{x}})^2+2$$ از اتحاد مجموع مربع دو جمله ای یعنی $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ داریم: $$\Longrightarrow x+2+\frac{1}{x}+2=x+\frac{1}{x}+4$$

Answer 2

اگر طرفین رابطه اول را به توان 2 رسانده و از اتحاد اول (مربع 2 جمله ای) کمک بگیریم داریم :

x2-2+1/x2=x+2+1/x x^(-2)=1/x^(2) x2+x^(-2)=x+1/x+4