توابعی که حد یکنواخت توابع ساده هستند.

Question

تمام توابعی را مشخص کردن کنید که برابر حد یکنواخت توابع ساده هستند.

Comments

ترجمه ی متن انگلیسی نوشته شده:
تمام توابعی را کاراکترایز(مشخص کردن) کنید که برابر حد یکنواخت توابع ساده هستند.
در واقع اگر دنباله ای همگرا از توابع ساده را داشته باشیم مقدار همگرایی آنها را میخواهیم

---

دوست عزیز ممنون از لطفتون که راهنماییم میکنید لطفا اگه براتون امکان داره منبعی را راجع به این مطلب و سئوال معرفی کنید تا راجع به آن مطالعه کنم

Answer 1

اگر $ (X,\mathcal M) $ یک فضای اندازه و $f:X\to [0,\infty) $ اندازه پذیر و کراندار باشد آنگاه دنباله ای از توابع ساده $ \phi_n $ وجود دارد که به طور یکنواخت به $ f $ همگرا می شود.( اثبات: تقریبا در تمام کتابهای آنالیزی هست. مثلا به کتاب Real Analysis نوشته Folland مراجعه کنید.)