به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
367 بازدید
در دبیرستان توسط Neseli (341 امتیاز)

$A= 3^{128} -1$

در صورت امکان اثبات سوال را برای $A= 3^{2^{n} } -1$ هم قرار دهید.

2 پاسخ

+1 امتیاز
توسط farhad (642 امتیاز)
انتخاب شده توسط Neseli
 
بهترین پاسخ

اگر $ p $ یک عدد اول و $n$ یک عدد طبیعی باشد، آنگاه بزرگترین عدد صحیح نامنفی مثل $a$ که $ p^{a}|n $ را با $ E_{p}(n) $ نشان می دهیم. با این مقدمات مسأله مورد نظر معادل است با محاسبه: $$ A_{n} =E_{2}( 3^{ 2^{n} }-1 ) $$ که در آن $n$ یک عدد طبیعی است. نشان می دهیم برای هر عدد طبیعی $n$ :

$$ A_{n+1}=A_{n}+1 $$

داریم:

$$ A_{n+1}=E_{2}( 3^{ 2^{n+1} }-1 )=E_{2}( (3^{ 2^{n} }-1)(3^{ 2^{n} }+1) )\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) $$

از آنجا که برای هر عدد اول $p$ و هر دو عدد طبیعی $a,b$ داریم:

$$ E_{p}( ab )=E_{p}( a )+E_{p}( b ) $$

پس با توجه به $(1)$ داریم:

$$ A_{n+1}=E_{2}(3^{ 2^{n} }-1)+E_{2}(3^{ 2^{n} }+1)=A_{n}+E_{2}(3^{ 2^{n} }+1) $$

چون:

$$ 3^{ 2^{n} }+1 \equiv (-1)^{2^n}+1 \equiv 2\,\,\,(mod\,4) $$ $$ 3^{ 2^{n} }+1 \equiv (1)^{2^n}+1 \equiv 0\,\,\,(mod\,2) $$

پس $\, E_{2}(3^{ 2^{n} }+1)=1 \,$ بنابراین $\,A_{n+1}=A_{n}+1\,$ و چون:

$$ A_{1}=E_{2}( 3^{ 2^{1} }-1 )=E_{2}( 8 )=3 $$ پس $ \,A_{n}=n+2\, $ به عبارت دیگر برای هر عدد طبیعی $n$ بزرگترین توان $2$ که $\,3^{ 2^{n} }-1\,$ بر آن بخش پذیر است برابر است با $\,n+2\,$ .

مثلاً بزرگترین توان 2 که $\,3^{ 128 }-1\,$ بر آن بخش پذیر است برابر است با $9$ .

سوال خوبی بود ممنون

+1 امتیاز
توسط farhad (642 امتیاز)

روش مورد نظر المپیاد: برای $ 3^{128}-1 $ می توان گفت:

$$ 3^{128}-1=2^3(3^{2}+1)(3^{4}+1)(3^{8}+1)(3^{16}+1)(3^{32}+1)(3^{64}+1) $$

چون همه ی عوامل داخل پرانتز بر $2$ بخشپذیرند ولی بر $4$ بخشپذیر نیستند پس بزرگترین عدد حاصل از توانی از $2$ که $ 3^{128}-1 $ بر آن بخشپذیر است برابر است با: $$ 2^3 ( 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2)=2^9 $$

پس جواب برابر است با $9$ .


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...