اگر $ p $ یک عدد اول و $n$ یک عدد طبیعی باشد، آنگاه بزرگترین
عدد صحیح نامنفی مثل $a$ که $ p^{a}|n $ را با $ E_{p}(n) $ نشان می دهیم. با این مقدمات مسأله مورد نظر معادل است با محاسبه:
$$ A_{n} =E_{2}( 3^{ 2^{n} }-1 ) $$
که در آن $n$ یک عدد طبیعی است. نشان می دهیم برای هر عدد طبیعی $n$ :
$$ A_{n+1}=A_{n}+1 $$
داریم:
$$ A_{n+1}=E_{2}( 3^{ 2^{n+1} }-1 )=E_{2}( (3^{ 2^{n} }-1)(3^{ 2^{n} }+1) )\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) $$
از آنجا که برای هر عدد اول $p$ و هر دو عدد طبیعی $a,b$ داریم:
$$ E_{p}( ab )=E_{p}( a )+E_{p}( b ) $$
پس با توجه به $(1)$ داریم:
$$ A_{n+1}=E_{2}(3^{ 2^{n} }-1)+E_{2}(3^{ 2^{n} }+1)=A_{n}+E_{2}(3^{ 2^{n} }+1) $$
چون:
$$ 3^{ 2^{n} }+1 \equiv (-1)^{2^n}+1 \equiv 2\,\,\,(mod\,4) $$
$$ 3^{ 2^{n} }+1 \equiv (1)^{2^n}+1 \equiv 0\,\,\,(mod\,2) $$
پس $\, E_{2}(3^{ 2^{n} }+1)=1 \,$ بنابراین $\,A_{n+1}=A_{n}+1\,$ و چون:
$$ A_{1}=E_{2}( 3^{ 2^{1} }-1 )=E_{2}( 8 )=3 $$ پس
$ \,A_{n}=n+2\, $ به عبارت دیگر برای هر عدد طبیعی $n$ بزرگترین توان $2$ که
$\,3^{ 2^{n} }-1\,$ بر آن بخش پذیر است برابر است با $\,n+2\,$ .
مثلاً بزرگترین توان 2 که $\,3^{ 128 }-1\,$ بر آن بخش پذیر است برابر است با $9$ .
سوال خوبی بود ممنون
