بفرض $n$ عددی طبیعی و $A$ مجموعه ای $n$ عضوی از اعداد طبیعی باشد. ثابت کنید زیرمجموعه ای از $A$ می توان یافت که جمع اعضایش بر $n$ بخشپذیر باشد.

Question

فرض کنید $n$ عددی طبیعی و $A$ زیرمجموعه‌ای $n$ عضوی از اعداد طبیعی باشد. ثابت کنید زیرمجموعه‌ای از $A$ وجود دارد که مجموع اعضای آن بر $n$ بخشپذیر است.

Comments

@heidardasomi انتشارات فاطمی فقط یک کتاب با موضوع نظریهٔ اعداد چاپ نکرده‌است! مشخصات مرجع را کامل بنویسید.

Answer 1

اعداد زیر را در نظر بگیرید:

$x_1,x_2,x_3,\dots ,x_n$

کبوتر های زیر را در نظر بگیرید:

$x_1,x_1+x_2,x_1+x_2+x_3,\dots ,x_1+x_2+x_3+\dots +x_n$

حال دو حالت به وجود می اید:

۱-یکی از اعضا بر $n$ بخشپذیر باشد:انگاه مجموعه ای که عوامل جمع را دارد جواب است.

۲-هیچ عضوی بر $n$ بخشپذیر نباشد:انگاه لانه های زیر را در نظر بگیرید:

$n \equiv 1,n \equiv 2 ,\dots ,n \equiv n-1$

طبق اصل لانه کبوتر حداقل دو کبوتر در یک لانه می نشینند.

انگاه اگر عبارت بزرگ را از عبارت کوچک کم کنیم حاصل جمع چند $x_i$ به دست می اید که بر $n$ بخشپذیر است.که ان زیر مجموعه مجموعه عوامل جمع است.