باقیمانده تقسیم

Question

اگر $p(x)=1+x+x^2+x^3+...+ x^{1999} $ باشد باقیمانده $p(x^5)$ را بر $1+x+x^2+x^3+x^4$ را بیابید.

Answer 1

از آنجا که:

$$ x^{5} \equiv 1\,\,\,\,\,(mod\,\,\, x^{4}+ x^{3}+ x^{2}+ x+1 ) $$

پس:

$$ p( x^{5}) \equiv p(1)=2000\,\,\,\,\,(mod\,\,\, x^{4}+ x^{3}+ x^{2}+ x+1 ) $$

Comments

ببخشید یه سوال داشتم :
همیشه اگه$(mod,z)$
 $x \equiv y$

$(mod,z)$
$f(x) \equiv f(y)$ ؟

مثلا برای پاسخ شما $(mod, x^4+x^3+x^2+x+1)$
$p(x^5) \equiv p(1)$ دلیل خاصی داشته یا اینکه یه قانون کلیه ؟

---

بله یه قانون کلی (f یک چند جمله ای با ضرایب صحیح است)