پیشنهاد میشود پیش از خواندن این پاسخ، پاسخ آمده در این پیوند از این انجمن نگاه شود.
تمام نکته، رابطهٔ بازگشتیاست که در آن پاسخ نیز اشاره شدهاست. اثبات را با یک استقراء ریاضی انجام میدهیم.
فرض کنید در ساختار جبریمان قانون شرکتپذیری برقرار است. چون برای $n$ مساوی یک و دو چیزی برای اثبات نیست گام پایه را با ۳ شروع میکنیم. این حالت همان قانون شرکتپذیری است. برای اینکه ایدهٔ حرکت از فرض به حکم استقراء را بیابید، حالت $n=4$ را بررسی میکنیم. هر یک از ۴-ضربها ابتدا دو عنصر کنار هم را باید انتخاب کنند و ضرب کنند و سپس یک ۳-ضرب انجام دهند. اما ۳-ضربها با هم برابرند پس از هر حالت کافیست یک نماینده برداریم و ثابت کنیم که برابرند. بیاییم دو حالت اول را نگاه کنیم. $(ab)cd$ و $a(bc)d$، از یکمی این نماینده را بردارید $((ab)c)d$ و از دومی این نماینده را $(a(bc))d$ همانطور که میبینید با یک بار استفاده کردن قانون شرکتپذیری این دو رابطه را به یکدیگر میتوان نبدیل کرد. پس گروه یک و گروه دو (گروه متناظر به جفت یک و گروه متناظر به جفت دو) با هم برابرند. توجه کنید که گروه دو و گروه سه را هم میتوان با همین کلک و گرفتن نمایندههایی که تنها سه عنصر ۲ و ۳ و ۴ را با یک شرکتپذیری جابجا کند، برابر کنیم. با کمک ترایایی تساوی، گروه یک و سه نیز برابر میشوند پس همهٔ ۴-ضربها برابرند.
کاری که کردیم این بود که با فرض برقرار بودن $(n-1)$-ضربها گفتیم تمام حالتهایی که جفت اول ضربشان یکی است با هم برابرند. اگر مجموعههای $A_i$ در این پیوند را به یاد آورید، اینگونه میشود که همهٔ حالتهای عضو $A_i$ با هم برابرند چون فرقشان در یک $(n-1)$-ضرب است که از فرض استقراء برابرند. سپس میآئیم برای یک $i$ دلخواه نمایندهای را از $A_i$ و $A_{i+1}$ برمیداریم که تنها فرقشان این است که در یکمی $((x_ix_{i+1})x_{i+2})$ و در دومی $(x_i(x_{i+1}x_{i+2}))$ داریم و بقیهٔ پرانتزها یکسان گذاشتهشدهاند. این دو فقط در یک ۳-ضرب فرق دارند که خود قانون شرکتپذیری یکضرب میگوید برابر هستند. پس $A_i$ و $A_{i+1}$ اعضایشان با هم برابر میشوند و با کمک ترایایی اعضای $A_1$ تا $A_{n-1}$ یعنی همهٔ $n$-ضربها برابر میشوند.
