ثابت کنید که ۲۹ حاصل $2^{90}+5^{90}$ را میشمارد.

Question

ثابت کنید که:

$$29 \mid 2^{90}+ 5^{90}$$

ویرایشگر: پرسش‌کننده متن بیشتری وارد نکرده‌است. مرجع را نیز «کتاب نظریهٔ اعداد» وارد کرده‌بوده‌است!

Answer 1

لم:به ازای هر $n$ فردی داریم:

$a+b|a^n+b^n$

اثبات:

برای هر $n$ فردی داریم:

$a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-\dots+ab^{n-2}-b^{n-1})$

جواب:

$(2^2)^{45}+(5^2)^{45}=4^{45}+25^{45}$

که از راهنمایی بالا نتیجه می شود:

$29|4^{45}+25^{45}$