سلام.
عددی که دنبالش هستیم چون مقسوم علیه های زوج دارد باید خود عدد هم زوج باشد.حالا اگر این عدد $x$ باشد و بصورت تجزیه به عاملهای اول نشان دهیم داریم:
$x=2^{n_0}p_1^{n_1}p_2^{n_2}...p_k^{n_k}$
که $n_i$ ها همگی اعداد حسابی و $p_i$ ها همگی اعداد اول بزرگتر از $2$ هستند.از طرفی دیگر چون $x$ متناوب است و زوج مقسوم علیه $ \frac{x}{2} $ به عنوان بزرگترین مقسوم علیه غیر $x$ باید فرد باشد لذا نباید عامل $2$ داشته باشد پس:
$ \frac{x}{2}=2^{(n_0-1)}p_1^{n_1}p_2^{n_2}...p_k^{n_k} \Rightarrow n_0-1=0 \Rightarrow n_0=1 \Rightarrow x=2p_1^{n_1}p_2^{n_2}...p_k^{n_k}$
حالا عدد $x_1=2$ را در نظر بگیرید و مقسوم علیه های آن را مرتب کنید:
$1< 2$
در واقع اگر از یک صرفنظر کنیم $x_1=2$ کوچکترین عدد طبیعی متناوب است.در مرحله بعد ما عدد اولی بزرگتر از $x_1=2 $ را در نظر میگیریم و در $x_1$ ضرب میکنیم و آن را $x_2$ مینامیم و مقسوم علیه های آن را مرتب می کنیم:
$x_2=2 \times 3 \wedge 1< 2< 3< 2 \times 3$
این عدد متناوب است.حالا عدد اولی که انتخاب میشود باید از $x_2=6 $ بزرگتر باشد مثلن $7$.
$x_3=2 \times 3 \times 7\wedge 1< 2< 3< 2 \times 3< 7< 2 \times 7< 3 \times 7< 2 \times 3 \times 7$
عدد اول بعدی باید از $x_3=42$ بزرگتر باشد مثلن $43$:
$x_4=2 \times 3 \times 7 \times 43$
$ \wedge 1< 2< 3< 2 \times 3< 7< 2 \times 7< 3 \times 7< 2 \times 3 \times 7< 43< 2 \times 43< 3 \times 43$
$< 2 \times 3 \times 43< 7 \times 43< 2 \times 7 \times 43< 3 \times 7 \times 43< 2 \times 3 \times 7 \times 43$
اگر به انتخاب اعداد اول توجه شود اعدادی که به این شکل ساخته می شوند واقعن متناوبند( در واقع در هر مرحله مقسوم علیه های جدید از ضرب مقسوم عیله های مرحله قبل در عدد اول جدید به دست می آیند) و چون اعداد اول نامتناهی اند ما این کار را به کمک استقراء ریاضی تا هر مر حله می توانیم انجام دهیم.
$ \Box $
