به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
333 بازدید
در دبیرستان توسط A Math L (2,395 امتیاز)
ویرایش شده توسط A Math L

عدد طبیعی را متناوب میگوییم اگر مقسوم علیه های آنرا از کوچک به بزرگ مرتب کنیم ، یکی در میان فرد و زوج باشند .

الف ) ثابت کنید بینهایت عدد متناوب وجود دارد .

ب ) ثابت کنید عددی متناوب وجود دارد که حداقل 100 عامل اول متمایز دارد .

جواب قسمت الف : چون 2 برابر هر عدد اول فرد متناوب است با توجه به بینهایت بودن اعداد اول تعداد اعداد متناوب نیز بینهایت است .

جواب قسمت ب رو میخواستم .

توسط A Math L (2,395 امتیاز)
–1
عدد طبیعی . اشتباه شده بود درستش کردم

1 پاسخ

0 امتیاز
توسط قاسم شبرنگ (1,127 امتیاز)
ویرایش شده توسط قاسم شبرنگ

سلام.

عددی که دنبالش هستیم چون مقسوم علیه های زوج دارد باید خود عدد هم زوج باشد.حالا اگر این عدد $x$ باشد و بصورت تجزیه به عاملهای اول نشان دهیم داریم:

$x=2^{n_0}p_1^{n_1}p_2^{n_2}...p_k^{n_k}$

که $n_i$ ها همگی اعداد حسابی و $p_i$ ها همگی اعداد اول بزرگتر از $2$ هستند.از طرفی دیگر چون $x$ متناوب است و زوج مقسوم علیه $ \frac{x}{2} $ به عنوان بزرگترین مقسوم علیه غیر $x$ باید فرد باشد لذا نباید عامل $2$ داشته باشد پس:

$ \frac{x}{2}=2^{(n_0-1)}p_1^{n_1}p_2^{n_2}...p_k^{n_k} \Rightarrow n_0-1=0 \Rightarrow n_0=1 \Rightarrow x=2p_1^{n_1}p_2^{n_2}...p_k^{n_k}$

حالا عدد $x_1=2$ را در نظر بگیرید و مقسوم علیه های آن را مرتب کنید:

$1< 2$

در واقع اگر از یک صرفنظر کنیم $x_1=2$ کوچکترین عدد طبیعی متناوب است.در مرحله بعد ما عدد اولی بزرگتر از $x_1=2 $ را در نظر میگیریم و در $x_1$ ضرب میکنیم و آن را $x_2$ مینامیم و مقسوم علیه های آن را مرتب می کنیم:

$x_2=2 \times 3 \wedge 1< 2< 3< 2 \times 3$

این عدد متناوب است.حالا عدد اولی که انتخاب میشود باید از $x_2=6 $ بزرگتر باشد مثلن $7$.

$x_3=2 \times 3 \times 7\wedge 1< 2< 3< 2 \times 3< 7< 2 \times 7< 3 \times 7< 2 \times 3 \times 7$

عدد اول بعدی باید از $x_3=42$ بزرگتر باشد مثلن $43$:

$x_4=2 \times 3 \times 7 \times 43$

$ \wedge 1< 2< 3< 2 \times 3< 7< 2 \times 7< 3 \times 7< 2 \times 3 \times 7< 43< 2 \times 43< 3 \times 43$

$< 2 \times 3 \times 43< 7 \times 43< 2 \times 7 \times 43< 3 \times 7 \times 43< 2 \times 3 \times 7 \times 43$

اگر به انتخاب اعداد اول توجه شود اعدادی که به این شکل ساخته می شوند واقعن متناوبند( در واقع در هر مرحله مقسوم علیه های جدید از ضرب مقسوم عیله های مرحله قبل در عدد اول جدید به دست می آیند) و چون اعداد اول نامتناهی اند ما این کار را به کمک استقراء ریاضی تا هر مر حله می توانیم انجام دهیم.

$ \Box $


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...