یک جبر در واقع یک مجموعه به همراه چند عمل است. از جبر یک کارشناسی تعریف یک عمل دوتایی را به یاد آورید. یک عمل دوتایی روی مجموعهٔ A یک نگاشت از A\times A به A بود که خوش‌تعریف و تابع باشد.
\cdot\;:\;A\times A\longrightarrow A
به جای حرف‌ها از نمادهایی مانند
\cdot،
+،
\star و ... برای یک عمل دوتایی استفاده می‌کردیم. به جای
f(a,b) از
a\cdot b کمک می‌گرفتیم. خوش‌تعریف بودن یعنی واقعا هر عضو از
A\times A را به عضوی از
A ببرد. پس یعنی دامنه‌اش همهٔ
A\times A باشد و بردش داخل
A قرار بگیرد. برای نمونه تقسیم دو عدد حقیقی از
\mathbb{R}\times\mathbb{R} به
\mathbb{R} خوش‌تعریف نیست پس یک عمل دوتایی روی
\mathbb{R} نمی‌باشد. تابع بودن نیز همان تابع بودن مبانی ریاضی و ریاضی عمومی است یعنی
\forall (a,b),(c,d)\in A\times A\;:\;(a,b)=(c,d)\Longrightarrow a\cdot b=c\cdot d
اما چرا می‌گوئیم عمل دوتایی و به عدد ۲ تأکید می‌کنیم؟ اگر عمل‌ها همگی عمل دوتایی می‌بودند نیازی به آوردن «دوتایی» پشت‌بند «عمل» نمی‌بود. در واقع برای هر عدد حسابی (اعداد حسابی، اجتماع اعداد طبیعی با تک‌عضوی صفر است) مانند
n، عمل
n-تایی قابل تعریف است. برای هر
n\in\mathbb{N}،
A^n را همان حاصلضرب دکارتی
A،
n-بار در خودش تعریف کنید و برای
n=0،
A^0 را تک‌عضوی
\{\emptyset\} قرار دهید. می‌توانید به جای
\emptyset هر چیز دیگری که دوست دارید بگذارید، تنها مهم این است که
A^0 تک‌عضوی باشد. علت اینکه ریاضی‌دان‌ها با
\{\emptyset\} راحت‌تر هستند این است که ساده‌ترین مجموعهٔ تک‌عضوی که از دید منطق و نظریهٔ مجموعه‌ها می‌توان ساخت، مجموعهٔ توانیِ مجموعهٔ تهی است. یک عمل
n-تایی یک نگاشت از
A^n به
A است که خوش‌تعریف و تابع باشد. برای
n=0، یعنی یک نگاشت از یک تک‌عضوی به
A که خوش‌تعریفی‌اش یعنی آن یک عضو را به عضوی از
A ببرد و تابع‌بودنش یعنی دقیقا تنها یک عضو از
A. پس یک عمل صفرتایی چیزی نیست به جز انتخاب یک عضو از
A. یک عمل یک‌تایی (اینجا است که اهمیت نیم‌فاصله در نوشتار فارسی دیده میشود، یک‌تایی یک واژه است پس نباید از فاصلهٔ کامل بین دو قسمتش استفاده شود و گر نه معنا تغییر کرده و منظور یک عدد از تایی که حال معلوم نیست تایی چه باشد، همین‌گونه نباید آنها را چسباند زیرا یکتا نیز معنایی دیگر دارد و عمل یکتا یعنی تنها عملی که وجود دارد، که این نیز مفهوم یکسانی نیست) یک تابع از
A به خودش است.
در یک میدان F در جبر یک دو تابع دوتایی + و \cdot معرفی می‌کردید و سپس چند شرط می‌گذاشتید متناظر به رفتار اعضای F نسبت به این دو عمل. دو شرط مربوط به عنصرهای همانی و دوشرط مربوط به عضوهای وارون می‌بودند. به زبان جبر یک، مجموعهٔ F به همراه دو عمل دوتایی + و \cdot یک میدان می‌بود اگر
\begin{array}{l}
\exists 0\in F\;\text{s.t.}\; \forall a\in F\; :\; a+0=0+a=a\\
\exists 1\in F\;\text{s.t.}\; \forall a\in F\; : \; a\cdot 1=1\cdot a=a\\
\forall a\in F\; \exists -a\in F\;\text{s.t.}\; a+(-a)=(-a)+a=0\\
\forall a\in F\; \exists a^{-1}\in F\;\text{s.t.}\; a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=1\\
\vdots
\end{array}
اما به زبان جبر جامع خلاصه‌تر و به شکل زیر میشود.
یک مجموعهٔ
F به همراه دو عمل دوتایی
+ و
\cdot و دو عمل یک‌تایی
-() و
()^{-1} و دو عمل صفرتایی
0 و
1 یک میدان است هرگاه
\begin{array}{l}
\forall a\in F\; :\; a+0=0+a=a\\
\forall a\in F\; : \; a\cdot 1=1\cdot a=a\\
\forall a\in F\; : \; a+(-a)=(-a)+a=0\\
\forall a\in F\; : \; a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=1\\
\vdots
\end{array}
نوشتن شرط‌ها با زبان جبرجامع کوتاه‌تر میشود ولی نمایش خود ساختار جبری بلندتر میشود.
یک میدان به زبان جبر یک، (F,+,\cdot) و به زبان جبرجامع (F,+,\cdot,-,^{-1},0,1) است.
تعریف جبر این است؛ یک مجموعه به همراه خانواده‌ای از عمل‌ها و احتمالا با چند قانون. در مورد میدان، مجموعه‌مان F است و خانوادهٔ عمل‌هایمان \lbrace +,\cdot,-,^{-1},0,1\rbrace است. اگر این خانواده را با \mathcal{F} نمایش دهیم یعنی \mathcal{F}:=\lbrace +,\cdot,-,^{-1},0,1\rbrace، آنگاه می‌توانیم میدانمان را با (F,\mathcal{F}) نیز نمایش دهیم ولی زمانیکه \mathcal{F} متناهی است، ترجیح به نوشتن خود اعضای \mathcal{F} است یعنی همان (F,+,\cdot,-,^{-1},0,1). به هر عمل n-تایی یک عدد یعنی خود n نسبت داده‌می‌شود و چندتایی بودن عمل نام دارد. پس چندتایی بودن عمل جمع در میدان ۲ است. به یک خانواده از عمل‌های چندتایی، یک خانواده از عددهای حسابی می‌توان نسبت داد به این شکل که چندتایی بودن عمل‌های آن را به همان ترتیب می‌آوریم. برای میدان، برابر میشود با (2,2,1,1,0,0). به این خانواده از عددهای حسابی، نوعِ ساختار جبری‌مان گفته میشود پس میدان یک جبر از نوعِ (2,2,1,1,0,0) است.
یک نمونه جبر که نمایش جبرجامعی‌اش کمی خلاقیت دارد، مدول‌ها هستند. اگر حلقهٔ اسکالرهای مدول را ثابت بگیرید یعنی فقط R-مدول‌های چپ برای یک حلقهٔ R ثابت را ببینیم آنگاه یک جبر داریم. M یک R-مدول چپ، یک جبر از نوع \lbrace 2,1,0,1,1,1,\cdots\rbrace است (که یک‌های آخر متناظر به عناصر R آورده‌شده‌اند). در واقع جمع مدولی یک عمل دوتایی و قرینه نسبت به جمع مدولی یک عمل یک‌تایی و عنصر صفر مدول یک عمل صفرتایی است و به جای آوردن یک تابع برای ضرب اسکالری برای هر عنصر r\in R، یک عمل ی‌تایی از M به M داریم که m را به rm می‌برد. اگر R ناشمارا باشد دیگر از نمایش دنباله‌ای نمی‌توان برای نمایش نوع این جبر استفاده کرد برای همین از نمایش‌های خانواده‌ای کمک گرفته‌می‌شود برای نمونه بیایید مجموعهٔ \Omega را اجتماع R با مجموعه‌ای شامل سه عنصر خارج از R مانند a_1,a_2,a_3 تعریف کنید و اکنون یک خانواده با مجموعهٔ اندیس‌گذار \Omega به نام \tau تعریف کنید که اعضایش را با n_\alpha نمایش می‌دهیم و عبارت‌اند از:
\begin{array}{lr}
& n_{a_1}=2\\
& n_{a_2}=1\\
& n_{a_3}=0\\
\forall r\in R\,: & n_{r}=1
\end{array}
در اینصورت یک
R-مدول چپ یک جبر از نوع
\tau است.
یک نمونهٔ دیگر از جبر، نیمگروه‌ها هستند. نیمگروه تنها یک عمل دوتایی دارد و دیگر عمل یک‌تایی یا صفرتایی ندارد. یک تکواره که یک نیمگروه به همراه عضو همانی است تنها یک عمل دوتایی و یک عمل صفرتایی است و عمل یک‌تایی ندارد.
