اثبات کنید نرم ها

Question

کمک کنید دوستان!!!!

Comments

"اثبات کنید نرمها" چی؟
این نرمها چی هستن چرا تعریف نکردید؟
به نظرم این سوال مربوط به آنالیز ریاضی بشه چرا برچسب جبر و آنالیز عددی زدین؟
درست پرسیدن سوال کمک میکنه زود به جواب برسید.

---

نرم برداری هستن!!!کل سوال برای اثبات کنیدش همین هست دیگه چیز دیگه ای نداره!
برچسبشو خودمم نمیدونم همینجوری زدم!!

Answer 1

منظور شما از نرمها اینها هستند:

$$\|(x_1,...,x_n)\|_1=|x_1|+...+|x_n|\\ \|(x_1,...,x_n)\|_2=\sqrt{x_1^2+...+x_n^2}\\ \|(x_1,...,x_n)\|_\infty =\max_{1\leq i\leq n}{|x_i|}$$

می توانید ثابت کنید $\sqrt{a+b}\leq \sqrt a+\sqrt b$ و از این دارید:

$$\|x\|_2\leq \|x\|_1$$

و واضح است برای هر $1\leq i\leq n$ داریم $|x_i|\leq \|x\|_2$ بنابراین $$\|x\|_\infty\leq \|x\|_2$$

Comments

ممنون از پاسختون فقط اینکه توی این اثبات کنیدی که شما گذاشتید آيا اون شرط همه بردارها حتی بردارهای مخالف صفر رو شامل میشه یا نه؟
fardina@

---

@lililotfi
متوجه منظورتون نشدم.
در صورت سوال گفته نشون بدید برای بردارهای غیر صفر هم ممکنه تساوی ها برقرار باشه. مثلا بردار $(1,0,0,...,0)$ در هر سه نرم برابر $1$ است.

Answer 2

$ \parallel x \parallel _{ \infty } ^{2} = (max \mid x_{i} \mid )^{2}=max \mid x_{i} \mid ^{2} = \mid x_{j} \mid ^{2} \leq \mid x_{j} \mid ^{2} + \sum_i \neq j^n \mid x_{i} \mid ^{2} = \parallel x \parallel_{2} ^{2} $ $ \parallel x \parallel_{2} ^{2} = \sum_1^n \mid x_{i} \mid ^{2} \leq ( \sum_1^n \mid x_{i} \mid )^{2} = \parallel x \parallel _{1} ^{2} $