اثبات قوانین رادیکال ها

Question

اگر $a$ و $b$ دو عدد حقیقی و نامنفی باشند، روابط زیر برقرار است :

$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$

$\frac{ \sqrt{a} }{ \sqrt{b} } = \sqrt{ \frac{a}{b} }$

البته من دنبال اثبات این روابط می‌گردم.

این روابط را اثبات کنید.

Answer 1

به نام خدا

برای اثبات روابط زیر:

$$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$$

$$\frac{ \sqrt{a} }{ \sqrt{b} } = \sqrt{ \frac{a}{b} }$$

می‌توانیم از قوانین اعداد توان‌دار استفاده کنیم، پس ابتدا رادیکال هارا به صورت اعداد توان‌دار می‌نویسیم:

$$a^{ \frac{1}{2} } \cdot b^{ \frac{1}{2} }$$

$$\frac{a^{ \frac{1}{2} }}{b^{ \frac{1}{2} }}$$

می‌دانیم که اگر در ضرب یا تقسیم اعداد توان‌دار، توان ها مساوی بود پایه هارا در هم ضرب یا بر هم تقسیم می‌کنیم:

$$a^{ \frac{1}{2} } \cdot b^{ \frac{1}{2} }=(ab)^{ \frac{1}{2} }$$

$$\frac{a^{ \frac{1}{2} }}{b^{ \frac{1}{2} }} = { (\frac{a}{b})}^{ \frac{1}{2} }$$

حالا دوباره توان های کسری را به صورت رادیکال می‌نویسیم:

$$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$$

$$\frac{ \sqrt{a} }{ \sqrt{b} } = \sqrt{ \frac{a}{b} }$$

کار به اتمام رسید و اثبات تمام شد.

Comments

اثبات ایراد دارد.در واقع باید بگم نوشتن توان کسری همان رادیکال است.

Answer 2

@unknown عدد به توان کسری یعنی چه؟ مثلا ۳ به توان ۱/۲ یا به توان ۱/۳

Comments

پاسخ منو ببینید توان کسری رو توضیح دادم.

Answer 3

سؤال را در حالت کلی برای ریشه $n$ حل می کنم.

برای اعداد با توان طبیعی چون ضرب خاصیت جابجایی دارد خیلی سرراست داریم که:

$(ab)^n=(ab)(ab)...(ab)=(aa...a)(bb...b)=a^nb^n$

در رابطه های بالا $n$ تا $a$ و $n$ تا $b$ و $n$ تا $ab$ داریم.(البته این اثبات ضعیفه برای دبیرستان خوبه اما در سطح عالی باید استقراء ریاضی را بکارد برد.)

حالا توانهای کسری (رادیکال) را به صورت زیر برای هر عدد غیر منفی تعریف کنیم:

$\sqrt[n]{a} \vee a^{ \frac{1}{n} }:=x \wedge x \geq 0,x^n=a$

(وجود این $x$ منحصر بفرد در سطح بالاتر از دبیرستان در مقدمات هر کتاب آنالیزی یافت می شود ).حالا با این تعریف داریم:

$if \sqrt[n]{a} =x, \sqrt[n]{b} =y \Rightarrow a=x^n,b=y^n \Rightarrow ab=x^ny^n=(xy)^n \Rightarrow \sqrt[n]{ab} =xy= \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b}$

$\Box$

برای تقسیم اثبات مشابه است.