به نام خدا
برای اثبات روابط زیر:
$$ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab} $$
$$ \frac{ \sqrt{a} }{ \sqrt{b} } = \sqrt{ \frac{a}{b} } $$
میتوانیم از قوانین اعداد تواندار استفاده کنیم، پس ابتدا رادیکال هارا به صورت اعداد تواندار مینویسیم:
$$a^{ \frac{1}{2} } \cdot b^{ \frac{1}{2} }$$
$$ \frac{a^{ \frac{1}{2} }}{b^{ \frac{1}{2} }} $$
میدانیم که اگر در ضرب یا تقسیم اعداد تواندار، توان ها مساوی بود پایه هارا در هم ضرب یا بر هم تقسیم میکنیم:
$$a^{ \frac{1}{2} } \cdot b^{ \frac{1}{2} }=(ab)^{ \frac{1}{2} }$$
$$ \frac{a^{ \frac{1}{2} }}{b^{ \frac{1}{2} }} = { (\frac{a}{b})}^{ \frac{1}{2} } $$
حالا دوباره توان های کسری را به صورت رادیکال مینویسیم:
$$ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab} $$
$$ \frac{ \sqrt{a} }{ \sqrt{b} } = \sqrt{ \frac{a}{b} } $$
کار به اتمام رسید و اثبات تمام شد.
