Question

ثابت کنید در یک حلقه موضعی تنها عناصر خود توان ۰ و ۱ هستند. ( یک حلقه R را حلقه موضعی گویند اگر دارای یک و فقط یک ایده آل ماکسیمال باشد.)

Answer 1

دو نکته:

• ایده‌آل بیشنهٔ حلقه‌های موضعی مجموعهٔ عنصرهای وارون‌ناپذیرش است.
• اینکه یک حلقه دارای ایده‌آل بیشنهٔ یکتا باشد هم‌ارز است با اینکه عنصر یک و صفر آن متفاوت از هم هستند و برای هر عنصر $x$ از آن، یا خود $x$ یا $1-x$ وارون‌پذیر است.

اگر حلقهٔ بیشنه را در درس داشته‌اید، انتظار می‌رود چنین ویژگی‌های مقدماتی را نیز برایش بدانید. به هر حال می‌توانید به کتاب Commutative Algebra نوشتهٔ Atiyah و Macdonald نگاه کنید، تمارینش نیز نکته‌های خوبی دارند.

اگر بخواهیم از نکتهٔ دوم استفاده کنیم توجه کنید که اگر $x$ خودتوان باشد یعنی $x^2=x$ با به عبارتی $x(x-1)=0$ اما می‌دانیم که باید $x$ یا $x-1$ (توجه کنید که $x-1$ قرینهٔ $1-x$ است پس اگر یکی وارون داشته باشد دیگری نیز وارون دارد تنها باید قرینهٔ دیگری را بردارید) وارون دارد. با ضرب طرفین در وارون آن خواهیم داشت $x=0$ یا $x-1=0$ و اثبات تمام می‌شود.

اگر بخواهید از نکتهٔ یکم استفاده کنید، توجه کنید که ضرب دو عنصر وارون‌پذیر هرگز صفر نمی‌شود. بنابراین از اینکه $x(x-1)=0$ نتیجه می‌شود که $x$ و $x-1$ هر دو وارون‌ناپذیر هستند. در نتیجه در ایده‌آل بیشینه هستند. پس تفاضل آنها یعنی $1$ نیز باید داخل این ایده‌آل بیفتد. ولی ایده‌آل بیشینه باید سره باشد و این تناقض می‌شود. پس باید $x$ یا $x-1$ وارون‌پذیر باشد. در آن صورت با ضرب طرفین در وارون آن به یکی از $x=0$ یا $x=1$ می‌رسیم.