مشتق nام تابع

Question

سلام، ببخشید سوالی داشتم با عنوان زیر : مشتق n ام تابع ((y= f(x)^(g(x برابر چیست ؟ لطفا پاسخ را به صورت فرمول بدهید. متشکرم.

Comments

فرض کنید <math>$h(x)=f(x)^{g(x)}$</math> از طرفین لگاریتم بگیرید داریم
<math>$$\ln h(x)=g(x)\ln f(x)$$</math>
با مشتق گیری از طرفین داریم:
<math>$$\frac{h'(x)}{h(x)}=g'(x)\ln f(x)+g(x)\frac {f'(x)}{f(x)}$$</math>
بنابر این
<math>$$\begin{align}h'(x)&=h(x)(g'(x)\ln f(x)+g(x)\frac {f'(x)}{f(x)})\\
&=f(x)^{g(x)}(g'(x)\ln f(x)+g(x)\frac {f'(x)}{f(x)})\end{align}$$</math>

---

متشکرم از پاسخ شما، اما اگر توجه کرده باشید، اینجانب مشتق n ام این تابع را خواسته بودم.

---

@Alireza-H
اوه اصلا حواسم نبود.
اگر بلد بودم ویرایش میکنم.

---

با سلام چنین فرمول بسته ای در حالت کلی وجود ندارد
در موارد خاص شاید بتوان فرمولی ارائه داد. برای مثال برای مشتق n ام تابع $x^x $ به لینک زیر مراجعه کنید.
https://goo.gl/7NsZdE

---

@fardina
مشتق طرف دوم را اشتباه گرفته اید.
$$ g \prime (x) \ln {f (x)}+g (x){f \prime (x) \over f (x)} $$

---

@AEbrahimiB
بله درست میگید. عجله ای نوشتم با مشتق $\ln x$ اشتباه گرفتم

Answer 1

$y=f^g=e^{gLnf} \Rightarrow y' = (g'Lnf+ \frac{g}{ f' } )e^{gLnf}$

برای مشتق مرتبه $n$ فکر نکنم بتوان فرمولd شکیل و کوتاه نوشت.ولی اگر تابعها خاص باشند مثل همانی یا ثابت میشه فرمولی کلی کوتاه نوشت.

$ \Box $