چرا نمی توان همیشه از رابطهٔ $\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=\lim{a\to\infty}\int_{-a}^af(x)dx$ استفاده کرد؟

Question

چرا تساوی زیر درست نیست؟

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \,dx=\lim_{a \to +\infty} \int_{-a}^a f (x)\,dx $$

برای مثال چرا انتگرال‌های $\int_{-\infty}^{\infty} x \,dx$ و $\int_{0}^{\infty} \sin x \,dx$ واگرا هستند؟ مگر قسمت‌های مثبت نمودار با قسمت‌های منفی حذف نمی‌شوند و جواب صفر نمی‌شود؟

Comments

در مورد سینوس با چه استدلالی می‌گوئید تعداد قسمت‌های زیر نمودار و تعداد قسمت‌های بالای نمودار حتما برابر هستند؟ مگر مثبت بینهایت یک عدد است که بعد بدانیم مضرب صحیحی از $2\pi$ شود؟

---

در مورد دیگری نیز همین‌طور. اگر قرار باشد همیشه بدون چک کردن شرط جابجایی انتگرال و حد، حد را از انتگرال عبور دهید و در قسمت‌های مختلفش قرار دهید آنگاه می‌توانید انتگرال اول‌تان را به شکل $\lim_{a\rightarrow +\infty}\int_{-a}^{a+1}xdx$ نیز بنویسید که جوابی متفاوت از صفر می‌دهد، یعنی یک عبارت دارای پاسخ‌های متفاوت شد!