به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
150 بازدید
در دانشگاه توسط Hanieh (87 امتیاز)
ویرایش شده توسط fardina

فرض کنید $\mu$ اندازه شمارشی روی $\mathbb R$ باشد نشان دهید همگرای یکنواخت برای دنباله توابع با همگرای در اندازه بودن معادل است

توسط fardina (15,227 امتیاز)
میشه لطفا مرجع سوالتون رو بنویسید؟
توسط Hanieh (87 امتیاز)
مرجعی به اسم کتاب برای این سوال ندارم

1 پاسخ

0 امتیاز
توسط fardina (15,227 امتیاز)
انتخاب شده توسط Hanieh
 
بهترین پاسخ

فرض کنید $f_n:\mathbb R\to \mathbb R$ همگرای یکنواخت به $f:\mathbb R\to \mathbb R$ باشد و $\epsilon>0$ دلخواه باشد. بنابر تعریف همگرایی یکنواخت $n\in\mathbb N$ موجود است که برای $n\geq N$ داریم $|f_n(x)-f(x)|< \epsilon$

در اینصورت مجموعه ی $\{x: |f_n(x)-f(x)|\geq \epsilon\}=\emptyset$ برای $n\geq N$ لذا اندازه شمارشی روی آنها صفر است پس $\lim_{n\to \infty}\mu(\{x:|f_n(x)-f(x)|\geq \epsilon\})=0$

برعکس فرض کنید $f_n\stackrel{m}\to f$ یعنی $\lim_{n\to \infty}\mu(\{x:|f_n(x)-f(x)|\geq \epsilon\})=0 $ نشان می دهیم $f_n\stackrel{u}\to f$

فرض کنید $\epsilon>0$ دلخواه باشد به ازای $0< \epsilon'< 1$ طبق تعیف حد $N\in\mathbb N$ موجود اتست که برای $n\geq N$ داریم $\mu(\{x:|f_n(x)-f(x)|\geq \epsilon\})< \epsilon'$ اما بنا بر تعریف اندازه شمارشی این وقتی امکان دارد که $\mu(\{x:|f_n(x)-f(x)|\geq \epsilon\})=0$ اگر و تنها اگر $\{x:|f_n(x)-f(x)|\geq \epsilon\}=\emptyset$ اگر و تنها اگر به ازای هر $x$ داشته باشیم $|f_n(x)-f(x)|< \epsilon$ .

توسط Hanieh (87 امتیاز)
ببخشید ولی مگه تو تعریف همگرای یکنواخت sup وجود نداره ؟ شما انگار تعریف همگرایی نقطه به نقطه رو نوشتین
اشتباه میکنم ؟
توسط fardina (15,227 امتیاز)
خوب وقتی برای هر x برقراره سوپریمم هم بگیرید باز از اپسیلون کمتر میشه.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...