به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
231 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط fardina

لطفا اثبات اندازه بودن اندازه شمارشی رو بنویسید. ممنون

مرجع: کتاب انالیز حقیقی و مختلط والتر رودین

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

اندازه شمارشی به صورت $\mu(A)=|A|$ اگر $A$ متناهی باشد و $\mu(A)=\infty$ اگر $A$ نامتناهی باشد تعریف می شود.($|.|$ یعی کاردینال $A$)

واضح است که $\mu(\emptyset)=|\emptyset|=0 $ .

حال فرض کنید $\{A_i\}$ گرادیه ای از مجموعه های دو به دو مجزای اندازه پذیر باشد در اینصورت دو حالت داریم:

  1. حداقل یکی از $A_i$ ها نامتناهی باشد. در اینصورت $\bigcup A_i$ ها هم نامتناهی است لذا $\mu(\bigcup_iA_i)=\infty$ و چون یکی از $A_i$ ها نامتناهی است لذا اندازه آن بی نهایت است و لذا $\sum_i\mu(A_i)=\infty$ . یعنی $\mu(\bigcup_iA_i)=\sum_i\mu(A_i)$.
  2. همه $A_i$ ها متناهی باشند. که دو حالت پیش میاد:
    • $\bigcup_iA_i$ نامتناهی باشد: که در اینصورت چون $A_i$ ها مجزا هستند پس تعداد نامتناهی از $A_i$ ها غیر تهی هستند. لذا داریم $$ \sum_{i=1}^\infty\mu(A_i)=\sum_{k=1}^\infty\mu(A_{n_k})\geq \sum_{k=1}^\infty1=\infty $$ که منظورم از $A_{n_k}$ آن جملاتی است که غیر تهی هستند. در اینصورت $$\mu(\bigcup_i\mu(A_i))=\sum_i\mu(A_i)=\infty$$
    • $\bigcup_iA_i$ متناهی باشد: در اینصورت از مجزا بودن $A_i$ ها نتیجه می شود که فقط تعداد متناهی از آنها غیرتهی هستند فرض کنیم $n$ تا از آنها غیر تهی هستند در اینصورت $$\mu(\bigcup_{i=1}^\infty A_i)=\mu(A_{i_1}\cup\cdots \cup A_{i_n})=|A_{i_1}\cup\cdots \cup A_{i_n}|=|A_{i_1}|+\cdots+|A_{i_n}|=\sum_{j=1}^n\mu(A_{i_j})=\sum_{i=1}^\infty \mu(A_i)$$
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...