اندازه شمارشی به صورت $\mu(A)=|A|$ اگر $A$ متناهی باشد و $\mu(A)=\infty$ اگر $A$ نامتناهی باشد تعریف می شود.($|.|$ یعی کاردینال $A$)
واضح است که $\mu(\emptyset)=|\emptyset|=0 $ .
حال فرض کنید $\{A_i\}$ گرادیه ای از مجموعه های دو به دو مجزای اندازه پذیر باشد در اینصورت دو حالت داریم:
- حداقل یکی از $A_i$ ها نامتناهی باشد. در اینصورت $\bigcup A_i$ ها هم نامتناهی است لذا $\mu(\bigcup_iA_i)=\infty$ و چون یکی از $A_i$ ها نامتناهی است لذا اندازه آن بی نهایت است و لذا $\sum_i\mu(A_i)=\infty$ . یعنی $\mu(\bigcup_iA_i)=\sum_i\mu(A_i)$.
- همه $A_i$ ها متناهی باشند. که دو حالت پیش میاد:
- $\bigcup_iA_i$ نامتناهی باشد: که در اینصورت چون $A_i$ ها مجزا هستند پس تعداد نامتناهی از $A_i$ ها غیر تهی هستند. لذا داریم $$ \sum_{i=1}^\infty\mu(A_i)=\sum_{k=1}^\infty\mu(A_{n_k})\geq \sum_{k=1}^\infty1=\infty $$ که منظورم از $A_{n_k}$ آن جملاتی است که غیر تهی هستند. در اینصورت $$\mu(\bigcup_i\mu(A_i))=\sum_i\mu(A_i)=\infty$$
- $\bigcup_iA_i$ متناهی باشد: در اینصورت از مجزا بودن $A_i$ ها نتیجه می شود که فقط تعداد متناهی از آنها غیرتهی هستند فرض کنیم $n$ تا از آنها غیر تهی هستند در اینصورت $$\mu(\bigcup_{i=1}^\infty A_i)=\mu(A_{i_1}\cup\cdots \cup A_{i_n})=|A_{i_1}\cup\cdots \cup A_{i_n}|=|A_{i_1}|+\cdots+|A_{i_n}|=\sum_{j=1}^n\mu(A_{i_j})=\sum_{i=1}^\infty \mu(A_i)$$
