فرض کنید $f_n:\mathbb R\to \mathbb R$ همگرای یکنواخت به $f:\mathbb R\to \mathbb R$ باشد و $\epsilon>0$ دلخواه باشد. بنابر تعریف همگرایی یکنواخت $n\in\mathbb N$ موجود است که برای $n\geq N$ داریم $|f_n(x)-f(x)|< \epsilon$
در اینصورت مجموعه ی $\{x: |f_n(x)-f(x)|\geq \epsilon\}=\emptyset$ برای $n\geq N$ لذا اندازه شمارشی روی آنها صفر است پس $\lim_{n\to \infty}\mu(\{x:|f_n(x)-f(x)|\geq \epsilon\})=0$
برعکس فرض کنید $f_n\stackrel{m}\to f$ یعنی $\lim_{n\to \infty}\mu(\{x:|f_n(x)-f(x)|\geq \epsilon\})=0 $ نشان می دهیم $f_n\stackrel{u}\to f$
فرض کنید $\epsilon>0$ دلخواه باشد به ازای $0< \epsilon'< 1$ طبق تعیف حد $N\in\mathbb N$ موجود اتست که برای $n\geq N$ داریم $\mu(\{x:|f_n(x)-f(x)|\geq \epsilon\})< \epsilon'$ اما بنا بر تعریف اندازه شمارشی این وقتی امکان دارد که $\mu(\{x:|f_n(x)-f(x)|\geq \epsilon\})=0$ اگر و تنها اگر $\{x:|f_n(x)-f(x)|\geq \epsilon\}=\emptyset$ اگر و تنها اگر به ازای هر $x$ داشته باشیم $|f_n(x)-f(x)|< \epsilon$ .
