اولا که هر انتگرال با اندازه شمارشی را می توان به صورت یک سیگما نمایش داد یعنی اگر $f:\mathbb N\to \mathbb R$ یک تابع اندازه پذیر باشد در اینصورت انتگرال پذیر است اگر و تنها اگر
$\sum_1^\infty |f(n)|< \infty$ و داریم $\int_{\mathbb N}fd\mu=\sum_1^\infty f(n)$
حال قضیه فوبینی را به یاد آورید:
قضیه فوبینی: اگر $f:X\times Y\to \mathbb R$ تابعی $\mu\times \nu$-انتگرال پذیر باشد در اینصورت انتگرال های مکرر موجودند و با هم برابرند یعنی:$$\int_{X\times Y}f(x,y)d(\mu\times \nu)=\int_X\int_Yf(x,y)d\nu d\mu=\int_Y\int_X f(x,y)d\mu d\nu$$
پس اگر اندازه شمارشی در نظر بگیریم قضیه به این ترتیب خواهد بود:
اگر $\sum_1^\infty \sum_1^\infty |f(m, n)|< \infty$ آنگاه
$$\int fd(\mu\times \nu)=\sum_{m=1}^\infty\sum_{n=1}^\infty f(m, n)=\sum_{n=1}^\infty \sum_{m=1}^\infty f(m ,n)$$
