انتگرال نامعین sin2x

Question

با سلام.لطفا به دو مشتق زیر توجه کنید: $$ \frac{dsin^2(x)}{dx} = 2sinxcosx = sin2x $$ $$\frac{d(-\frac{1}{2}cos2x)}{dx} = sin2x$$

سوالم اینه با در نظر گرفتن مقادیر بالا $ \int sin2x dx $ برابر با چیست؟ در کتاب درسی مورد دوم رو به عنوان $ \int sin2x dx $ نوشته اما مگه مورد اول هم نمیتونه جواب باشه؟ با توجه به این که دو تابع برابر نیستند مساحت زیر سطح نمودار $sin2x$ با مقدار کدام یک برابر است؟ با تشکر.

Answer 1

انتگرال $\int \sin ax$ در حالت کلی برابر $-\frac1a \cos ax $ است ولی در این مورد خاص که $a=2$ می تواند برابر با $\sin^2x $ هم باشد. در واقع این دو تابع اولیه مساوی نیستند ولی معادل یا هم ارز هستند؛ یعنی مشتق آن ها با هم برابر است و فقط در یک مقدار ثابت با هم تفاوت دارند، به این صورت: $$\sin^2x=\frac12-\frac12 \cos 2x $$ این مقدار ثابت در محاسبه انتگرال معین از بین می رود پس از هر دوی آن ها می توان برای محاسبه مساحت زیر نمودار استفاده کرد. (می توانید یک بازه دلخواه را امتحان کنید)

Comments

فقط به عنوان توضیح بیشتر پاسخ @AEbrahimiB
فرض کنید $F,G$ توابع اولیه ی $f$ باشند یعنی $F'(x)=G'(x)=f(x)$ در اینصورت $F'(x)=G'(x)$ و لذا $(F-G)'(x)=0$ یعنی مشتق تابع $F-G$ صفر شد پس باید $F-G$ تابع ثابت باشد یعنی عدد ثابت $C$ موجود است که $F(x)-G(x)=C$ در اینصورت برای انتگرال گیری از هر کدام از این توابع اولیه استفاده کنید پاسخ های یکتا به دست می آید چرا که:
$\int_a^b f(x)dx=F(x)|_a^b=F(b)-F(a)=(F(b)+C)-(F(a)+C)=G(x)|_a^b$