رابطه تحدب و مشتق دوم تابع

Question

سلام

لطفا به سوالم جواب بدین خیلی ضروریه، میخواب اثبات کنم که دوتا تعریف با هم معادلند.1- محدب بودن تابع 2- مشتق دوم تابع مثبت باشد

Answer 1

برای تکمیل دیدگاه وبحث:farshchian2090

Answer 2

دراین قسنت که منحنی محدب است(تقعر رو به بالادارد) وقتی $x> x_{0} $شیب خط مماس(مقدارمشتق) در$x$نیز ازشیب خط مماس(مقدارمشتق) در$x_{0} $بیشتر است که باعث می شود کسر تعریف مشتق مرتبه دوم در این حالت مثبت خواهدشدیعنی نسبت رشد مشتق به رشد متغیر اولیه

$ f^{''}(x_{0})= \lim_{x \rightarrow x_{0}} \frac{ f' (x)- f'( x_{0}) }{x-x_{0}}>0 $

Comments

خیلی ممنون
لطف کردین

---

@good4us بر خلاف نظر شما تحدب یک تابع در یک بازه مورد بحث است اما مشتق دوم لزوما در بازه مطرح نمیشود چرا که ممکن است در بعضی نقاط یک بازه تابعی اصن تعریف نشه در این صورت مشتق پذیرم نیست.
پاسخ شما صحیحه در مواردی که تابع مشتق دوم داشته باشه اما اگر نداشت چه کار کنیم ؟؟

---

پاسخ شما متین است،میشه گفت درطول نقاط یک بازه که مشتق دوم وجود داردوعلامت مثبت است تقعر رو به بالا داریم ولی به موارد زیر می توان اشاره کرد
مشتق دوم صفروتقعر رو به بالا(پایین)
مشتق دوم صفروتقعر درآنجا در وضعیت تغییر(نقطه عطف)
عدم پیوستگی درنتیجه نبودمشتق دوم (سوال:آیا میشود از تقعر صحبت کرد؟)
باوجودپیوستگی نبودمشتق اول؛درنتیجه نبودمشتق دوم(سوال:آیا میشود از تقعر صحبت کرد؟)

                          
باوجودپیوستگی وداشتن مشتق اول، نبودمشتق دوم(سوال:آیا میشود از تقعر صحبت کرد؟)

Answer 3

@good4us خیلی دقیق و خوب به مسئله اشاره کردید متشکرم.

اگر بخوایم در یک همسایگی تقعر و تحدب یک تابع رو مشخص کنیم مسلما بهترین گزینه ما استفاده از تعریف تحدب است که در موارد خاص می توان از تعریف مشتق دوم استفاده کرد اما این در حقیقت به نوعی راه رفتن روی پرتگاه هست مگر اینکه از قبل با اون تابع و پیوستگی و مشتق پذیری اون اطلاعات داشته باشیم در واقع باید نقاطی رو در همسایگی یافت که به ازای اونها بشه از وجود مشتق در اونها قطعیت داشته باشیم که این همواره ممکن نیست پس باز به ناچار به همون نامساوی لمبداها بهتر است رجوع کنیم که می گوید

$$ f(\lambda x_1 +(1-\lambda) x_2)\leq \lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2) ;\\ \forall x_1,x_2 \in [a,b] \ \ , \lambda \in [0,1] $$

بنابراین این دو تعریف ینی تحدب و مشتق دوم مثبت معادل نیستند بلکه یک طرفه اند یعنی اگر مشتق دوم در بازه ای مثبت باشد پس تابع محدب است اما عکس آن در حالت کلی صحیح نیست همانطور که نمودارهای دوستمون @good4us هم نشون میده این مطلب مشخصه.