@good4us خیلی دقیق و خوب به مسئله اشاره کردید متشکرم.
اگر بخوایم در یک همسایگی تقعر و تحدب یک تابع رو مشخص کنیم مسلما بهترین گزینه ما استفاده از تعریف تحدب است که در موارد خاص می توان از تعریف مشتق دوم استفاده کرد اما این در حقیقت به نوعی راه رفتن روی پرتگاه هست مگر اینکه از قبل با اون تابع و پیوستگی و مشتق پذیری اون اطلاعات داشته باشیم در واقع باید نقاطی رو در همسایگی یافت که به ازای اونها بشه از وجود مشتق در اونها قطعیت داشته باشیم که این همواره ممکن نیست پس باز به ناچار به همون نامساوی لمبداها بهتر است رجوع کنیم که می گوید
$$ f(\lambda x_1 +(1-\lambda) x_2)\leq \lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2) ;\\\ \forall x_1,x_2 \in [a,b] \ \ , \lambda \in [0,1] $$
بنابراین این دو تعریف ینی تحدب و مشتق دوم مثبت معادل نیستند بلکه یک طرفه اند یعنی اگر مشتق دوم در بازه ای مثبت باشد پس تابع محدب است اما عکس آن در حالت کلی صحیح نیست همانطور که نمودارهای دوستمون @good4us هم نشون میده این مطلب مشخصه.
