$ I=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{ax}}{e^x+1} dx \ \ : 0<a<1 $

Question

حاصل انتگرال زیر را بیابید.

$$ I=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{ax}}{e^x+1} dx \ \ \ \ \ \ \ 0<a<1 $$

Answer 1

$$ I=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{ax}}{e^x+1} dx \ \ \ \ \ \ \ 0<a<1 $$

ابتدا با یک تغییر متغیر :

$$u=e^x \to du=e^xdx$$

انتگرال رو به صورت زیر در می آوریم :

$$I=\int_{0}^{+\infty} \frac{u^{a-1}}{u+1} du$$

حال این انتگرال رو میتوان با استفاده از توابع بتا و گاما بدست اورد به صورت زیر :

در نتیجه خواهیم داشت :

$$I=\int_{0}^{+\infty} \frac{u^{a-1}}{u+1} du=\frac{\pi}{\sin(a\pi)}$$