قضیه اکسترمم موضعی و مشتق

Question

اگر تابع $f:A\to \mathbb R$ در نقطه ی درونی $c$ مشتق پذیر بوده و دارای اکسترمم نسبی باشد آنگاه $f'(c)=0$ .

حالا دو سوال :

الف:) در کتابی دیدم که این قضیه رو اینطوری نوشته :

اگر تابع $f:A\to \mathbb R$ در نقطه ی درونی $c$ مشتق داشته باشد ( مشتق متنهاهی و یا نامتناهی )و دارای اکسترمم نسبی باشد آنگاه $f'(c)=0$ . حالا کدوم درسته ؟

ب:) چرا ؟برای یافتن نقاط اکسترمم نسبی یک تابع کافی است نقاطی را بیابیم که در آنها مشتق وجود ندارد یا مشتق در آنجا صفر باشد $f'(x)=0$ .

Answer 1

گزاره اول که به وضوح برقرار نیست چرا که اگر مشتق نامتناهی داشته باشد یعنی $f'(c)=\infty$ در اینصورت چطور می شود نتیجه گرفت $f'(c)=0$ ؟ شاید شما اشتباه دیدید؟

گزاره دوم که نتیجه مستقیم قضیه ای است که بیان کردید. در نقاط اکسترمم یا مشتق پذیری داریم یا نداریم. اگر مشتق پذیری داشته باشیم که بنابر قضیه باید مشتق صفر باشد. لذا نقاط اکسترمم نقاطی هستند که یا مشتق ناپذیرند یا نقاطی هستند که مشتق در آنجا صفر باشد.

اینجا رو دو باره مطالعه کنید: نقاط بحرانی و اکسترمم

Comments

@fardina
 ممنون استاد .
 این جمله که :در نقاط اکسترمم یا مشتق پذیری داریم یا نداریم.
این قضیه در کدوم کتابه میشه اثباتش کنید ؟ ممنون

---

@amirm20
نیاز به اثبات نداره! خوب کلا شما هر نقطه ای که در نظر بگیرید یا در اون نقطه مشتق پذیری داریم یا نداریم. مگه ممکنه حالت دیگه ای داشته باشیم؟!

---

@fradina
:))))))) چه سوال بی معنی پرسیدم . قاطی کردم .
خیلی ممنون

---

@amirm20 زمانی که فردی پرسشٰی‌تان را پاسخ می‌دهند و آن را فهمیدید و پرسش‌تان را رفع کرد، با زدن تیک سمت راست پاسخ، پاسخ را انتخاب کنید. زمانی که پاسخ پرسش دیگران را خوشتان می‌آید فقط امتیاز می‌دهید ولی زمانی که پاسخ پرسش خودتان را دریافت می‌کنید انتظار می‌رود که پاسخ را تأیید کنید مگر اینکه در آن اشکالی باشد که در آن صورت به شکل دیدگاه مشکل را مطرح می‌کنید.