مجموعه همبند و بازه

Question

با سلام سوالی داشتم در مورد مجموعه همبند . در فضای اقلیدسی $\mathbb{R}$ آیا هر بازه یک مجموعه همبند است ؟ و اینکه مجموعه تهی همبند است ؟

و یا در حالت کلی آیا میتوان گفت که مجموعه همبند تعمیمی برای بازه است ؟

متشکرم .

Answer 1

در مورد فضای اقلیدسی $\mathbb R$ قضیه معروف زیر را داریم:

زیر مجموعه ناتهی $C$ از فضای اقلیدسی $\mathbb R$ همبند است اگر و تنها اگر به صورت بازه باشد.

(البته میتونیم ثابت کنیم که همبندی در $\mathbb R$ با محدب بودن نیز معادل است.) برای اثبات می توانید مثلا به کتاب آنالیز رودین مراجعه کنید. در مورد همبندی مجموعه تهی بنابر تعریف ناهمبند نیست چرا که

زیرمجموعه $D$ از فضای متریک(یا توپولوژیک) را ناهمبند گوییم هرگاه دومجموعه باز مجزای ناتهی $A,B$ موجود باشند که $D=A\cup B$ .

یعنی همبند است. (چون اگر قرار باشد همچین جداسازی ای برای تهی موجود باشد آنگاه $\emptyset =A\cup B$ که تناقض است.)

Comments

@ fardina
خیلی ممنون . یعنی میتونیم بگیم مجموعه همبند تعمیمی برای بازه است درسته ؟
و اینکه در ریاضی عمومی بعضی قضایا هستند . که سخن از بازه زده میشه. آیا میتونیم هرکدام از اون قضایارو تعمیم بدیم اینطوری که به جای بازه بنویسیم مجموعه همبند . درسته ؟

Answer 2

سلام دوست عزیز, در R هز زیر مجموعه مانند Aاز R که حداقل دو عضو داشته باشد همبند است اگر و تنها اگر A بازه باشد. طبق یک قرارداد تهی یک مجموعه همبند است.